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반소수 수열의 색인 해 및 최종적으로 초기화


본 문서는 복소수 $(1+i)^n$의 통합부와 허수 로그를 이용하여 정의된 두 수열 $a_n$과 $b_n$에 대한 설명을 만족시키는 $m$과 $k$를 바탕릭으로 찾고, 해당 기반으로 정의된 수열 $c_n$의 합을 합하는 것을 구성합니다.


1. 수열 $a_n$ 및 $b_n$의 정의

복소수 $(1+i)^n$의 극형 표현은 다음과 같습니다:



$$(1+i)^n = 2^{n/2} \left(\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}\right)$$


문제의 조건은


$$(1+i)^n = a_n + 2^n b_n i$$


그런데, $a_n$과 $b_n$은 연결됩니다. 따라서 과변변과 우변의 표시부와 허수부를 담당하여 식을 세웁니다.


1) 충돌부 비교($a_n$ 정의):



$$a_n = \연산자이름{Re}((1+i)^n) = 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{4}$$


2) 허수부 비교($b_n$ 정의):


$a_n$이 주장, 과변의 허수부 $\operatorname{Im}((1+i)^n)$는 우변의 허수부 $\operatorname{Im}(a_n + 2^n b_n i) = 2^n b_n$과 같아야 합니다.



$$\mathbf{2^n b_n = 2^{n/2} \sin \frac{n\pi}{4}}$$


$b_n$에 대해 정리하면:



$$\mathbf{b_n = 2^{-n/2} \sin \frac{n\pi}{4}}$$


2. $m$과 $k$의 소멸해 보세요

2.1. $a_m = a_{m+1}$ 조건

$$2^{m/2} \cos \frac{m\pi}{4} = 2^{(m+1)/2} \cos \frac{(m+1)\pi}{4}$$


위 식을 삼각함수 덧셈정리로 정리 $\mathbf{\tan \frac{m\pi}{4} = -1}$ 이하면 됩니다.


만족스러운 $m$의 일반형은:



$$\mathbf{m_p = 4p - 1 \quad (p=1, 2, 3, \dots)}$$


2.2. $b_k = b_{k+1}$ 조건

$$2^{-k/2} \sin \frac{k\pi}{4} = 2^{-(k+1)/2} \sin \frac{(k+1)\pi}{4}$$


위 식을 삼각함수 덧셈정리로 정리 $\mathbf{\tan \frac{k\pi}{4} = 1}$이렇게 하면.


만족스러운 $k$의 일반형은:



$$\mathbf{k_q = 4q - 3 \quad (q=1, 2, 3, \dots)}$$


3. 수열 $c_n$의 일반항 및 최종 기본 조립

수 $S_n$을 $m_n$과 $k열$의 곱으로 정의하고, $c_n$은 $S_n$의 전구합을 가정합니다. ($p=q=n$으로 적합합니다)


3.1. $S_n$ 일반항

$$S_n = m_n \cdot k_n = (4n - 1)(4n - 3)$$$$\mathbf{S_n = 16n^2 - 16n + 3}$$


3.2. $c_n$ 일반항 ($c_n = S_n - S_{n-1}$)

$$c_n = (16n^2 - 16n + 3) - (16(n-1)^2 - 16(n-1) + 3)$$$$\mathbf{c_n = 32n - 32 \quad (\text{단, } n \ge 2)}$$


3.3. $c_1$ 및 $c_4$제거

$c_1$은 $S_1$과 같습니다.



$$c_1 = 16(1)^2 - 16(1) + 3 = \mathbf{3}$$


$c_4$는 일반항 $c_n$을 이용하여 운동합니다.



$$c_4 = 32(4) - 32 = 128 - 32 = \mathbf{96}$$


3.4. 기본적으로 $c_1 + \frac{c_4}{3}$운동

$$c_1 + \frac{c_4}{3} = 3 + \frac{96}{3} = 3 + 32 = \mathbf{35}$$


답 최종:  35"