안녕하세요 고2 인데요 lim(x->0) sin x / x = 1 을 기하학적으로 증명하는 것은 이해가 됐는데, 근사 측면에서는 이해가 잘 안갑니다.
sin x를 x + o(x)로 근사할 수 있고 이를 lim(x->0)에 보내면 o(x)가 x보다 0으로 가는 속도가 더 빨라서(o(x)의 최고차수가 5차항인 것으로 알고있습니다) lim(x->0) sin x / x가 1 + o(x)/x가 돼서 극한값이 1이 된다 라고 알고있는데
제가 이해가 안가는 부분은 근사는 근사일 뿐이고 함수 =/= 근사함수 인데 어떻게 sin x를 x + o(x)로 취급할 수 있는지 그 엄밀성이 타당한건지가 납득이 잘 안갑니다.
테일러 급수라는걸 배우고 나면 sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... 같은 식으로 쓸 수 있다는 걸 알 수 있는데 이건 무한급수니까 여기서 적절히 유한한 항만큼 끊어서 사용하는 근사인 것
그래서 그게 엄밀한가 하는 것은 테일러 급수의 엄밀성을 물은 것과 같고, 자세한 것은 테일러 급수에 대해 찾아보는게 좋다
답변 감사합니다.