장담컨데 감마분포 들어본 애들 십중팔구 다모름
감마분포는 그냥 포아송분포x미소구간 확률임

X~Gamma(n,a)로 정의했을때
보통 시간당 평균 a번 발생하는데 처음으로 n번 발생할 때 걸리는 시간이 x일 확률 정도로 이해할 거임

정확히 말하면 확률도 아니고 밀도지만
밀도함수를 이해하는 방법으로는 그냥 구간을 분할하는게 가장 직관적이고 간단한 방식임 당연한 얘기지만 밀도함수는 구간으로 보면 확률이 되기 때문에 쉬운거

그렇다면
(0,x]구간에서 n-1번 발생하고
(x,x+dx]에서 1번 발생하면 되는걸로 이해하면 됨
당연히 전자는 (ax)^(n-1)×exp(-ax)/(n-1)!임
근데 후자에서 문제가 발생함 결론부터 말하면 그냥 adx임

미소구간 dx에서 사건이 2번 이상 발생할 확률은 현실에서 불가능할 정도로 작음 그렇기에 0으로 두면
dx에서 사건이 발생하는 수를 A로 했을때 E(A)=adx가 되고 A는 베르누이분포니까 p=adx가 됨
따라서 미소구간 dx에서 사건이 발생할 확률은 adx임
그렇기때문에 포아송×adx가 되는거

즉, a^n x^(n-1)×exp(-ax)/(n-1)!dx=P(x<=X<=x+dx)=f(x)dx임
그래서 밀도가 dx만 제거한 값이 되는거고

X~Gamma(n,a)일때 짜증나게 n-1이 드가는거임

포아송분포는 어쩔건데? 라고 물으면 크기 같은 구간 n개 쪼개서 이항분포 쓰면됨

지수분포는? 당연히 같은 논리로 쪼개서 adx로 해석한 뒤 기하분포 쓰면 지수분포로 수렴함

베타분포도 비슷함 X~Beta(a,b)에서
x^(a-1)(1-x)^(b-1)인 이유는 a가 순위라서 그런거임 x위치에 a순위인 애가 있으면 x보다 작은 a-1개의 멍청이가 있으니 필연적으로 x가 a-1번 곱해지는거 b는 뒤에서 센 순위고 이것도 똑같이 해석하면 됨
애초에 베타분포는 유니폼분포 순서통계량이라 설명하는것도 입 아플 정도로 자명하지만..


예전에 자칭 '역대급천재'가 통계갤에서 질문한거 보고 적어봄

엄밀 어쩌구저쩌구 알바아님 내가 제일 싫어하는게 엄밀함임 휘발성만 강해서 별로임