그는 대칭성을 활용하면 계산량을 획기적으로 줄이고, 문제를 단순화하며, 숨겨진 성질을 발견할 수 있다고 강조합니다.
1. 식의 계산에서의 이점 (대칭식과 교대식)
복잡한 식을 다룰 때 대칭성을 이용하면 계산 과정을 대폭 단축할 수 있습니다.
• 대칭식의 활용: 문자 x,y,z의 순서를 바꾸어도 식의 값이 변하지 않는 '대칭식'의 경우, 기본 대칭식(x+y+z,xy+yz+zx,xyz)의 값만 알면 차수가 높은 식(예: x5+y5+z5)도 점화식 등을 이용해 기계적으로 구해낼 수 있습니다. 이를 통해 복잡한 전개를 피하고 효율적으로 답을 낼 수 있습니다,,.
• 교대식의 활용: 문자를 서로 바꾸었을 때 부호만 반대가 되는 '교대식'(예: a2(b−c)+b2(c−a)+c2(a−b))은 반드시 차의 곱 (a−b)(b−c)(c−a)를 인수로 갖는 성질이 있습니다. 이를 알고 있으면 인수분해의 목표 지점을 미리 알고 시작하는 셈이므로 문제 해결 속도가 빨라집니다,.
2. 도형 문제에서의 이점 (이동, 복제, 범위 한정)
도형 문제에서 대칭성은 보조선을 긋거나 도형을 이동시켜 문제를 쉽게 만드는 핵심 도구입니다.
• 접기와 이동: 복잡한 도형 문제에서 대칭축을 기준으로 '접거나(folding)', '같은 모양을 복사해서 붙이는' 방식을 사용하면, 합동인 도형이나 이등변삼각형, 정사각형 등 성질을 파악하기 쉬운 도형으로 바꿀 수 있습니다,,,,. 이렇게 하면 보조선 하나로 10초 만에 풀리는 마법 같은 상황이 연출되기도 합니다.
• 생각하는 범위의 한정: 정다각형이나 원과 같이 대칭성이 높은 도형은 전체를 다 볼 필요 없이 대칭되는 일부(예: 원의 1/4 조각, 정팔각형의 일부)만 떼어내어 해석하면 충분합니다. 이는 불필요한 정보를 소거하고 핵심에 집중하게 해 줍니다,,.
• 벡터의 내적: 정오각형이나 정십이면체 등 대칭성이 높은 도형의 벡터 문제에서는 대칭적인 위치에 있는 벡터들의 내적 값이 같다는 점을 이용해 계산을 생략할 수 있습니다,.