해설에 따르면, 수학적 귀납법이 특히 강력한 힘을 발휘하는 문제는 **"전형적 패턴이 아니어서 해법을 바로 알 수 없는 수열 문제"**와 **"명제나 부등식 증명"**입니다.

구체적 활용 상황은 다음과 같습니다.

1. 낯선 점화식이나 수열의 일반항 구하기 (실험 후 증명)

본 적 없는 점화식이나 수열 문제를 만났을 때, 수학적 귀납법은 '실험'을 통해 얻은 추측을 '확신'으로 바ぐ어 주는 도구가 됩니다.

• 패턴이 없을 때: 교과書적인 패턴(등차, 등비, 계차 등)에 점화식이 나오면, n=1,2,3…을 직접 대입하여 a1,a2,a3 등을 구해보는 '실험'을 해야 합니다.

• 규칙성 발견 후 증명: 실험을 통해 수열의 규칙성(예: an이 특정 꼴일 것이다)을 발견했다면, 그 규칙이 모든 자연수 n에 대해 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여 일반항을 확정 짓습니다. 즉, 귀납법은 실험적 추론을 논리적 정답으로 완성시키는 역할을 합니다.

2. 부등식이나 명제의 성립 증명

수학적 귀납법은 특정 조건(예: an<1)이 모든 자연수 n에 대해 성립함을 보일 때 필수적으로 사용됩니다. 다만, 귀납법을 사용할 때 주의해야 할 '함정'에 대해서도 언급합니다.

• 단순 적용의 한계: 예를 들어 an<1임을 증명하려 할 때, 수열이 단조증가(an+1>an)한다면 단순히 ak<1이라고 가정하는 것만으로는 ak+1<1임을 보이기 어려울 수 있습니다. 조건이 더 엄격해지기 때문입니다,.

• 식 조작을 통한 돌파: 이런 경우, 단순히 목표 식을 그대로 증명하려 하기보다, 식을 변형하거나 더 좁은 범위(예: an<1−n1 등)를 설정하여 귀납법을 적용하는 테크닉이 필요할 수 있습니다,.

3. 정수 문제의 성질 증명

특정 범위 이상의 자연수(예: n≥6)에서 성립하지 않음이나 특정 성질을 증명할 때도 귀납법은 유용하게 사용됩니다. 예를 들어, 수학 올림피아드 문제 해설에서 n≥6인 경우에 대해 수학적 귀납법으로 간단히 증명할 수 있다고 언급합니다.

결론적으로, 수학적 귀납법을 **"모르는 문제를 만났을 때 구체적인 대입(실험)을 통해 규칙을 찾고, 그 규칙의 정당성을 부여하는 최후의 무기"**로 활용할 것을 권장합니다.