1. 필요조건만으로는 해의 범위가 넓어짐 (가짜 해의 등장)

일반적으로 어떤 명제 A를 변형하여 B를 도출할 때, 만약 그것이 동치(A⟺B)가 아니라 단순한 필요조건(A⇒B)이라면, 집합적으로 B는 A보다 더 큰 범위를 갖게 됩니다.

• 문제점: 식을 변형해 나가는 과정에서 동치성을 확인하지 않으면, 본래의 문제 조건에는 맞지 않는 **'무연근(extraneous solutions)'**이나 **'불필요한 해'**가 섞여 들어갈 수 있습니다.

• 예시: 연립방정식에서 단순히 대입하여 문자를 소거하고 풀었을 때, 원래 식을 만족하지 않는 해(예: x=3,y=4가 정답인데 y=−4까지 포함되는 경우)가 나올 수 있습니다. 이는 논리적으로 범위가 넓어졌기 때문입니다,,.

2. '대입하면 대입한 원래 식이 남는다'는 원칙

연립방정식 등을 풀 때 **"대입하면 대입한 원래의 식이 남는다"**는 원칙을 강조합니다.

• 원리: 식 (1)을 식 (2)에 대입하여 식 (3)을 만들었다면, (1)과 (2)의 연립은 (3) 단독과 동치가 아니라, **'(1) 그리고 (3)'**과 동치입니다. 대입한 원래의 식 (1)을 남겨두어야만 논리가 쌍방향(⟺)으로 성립하여 올바른 해를 구할 수 있습니다,,.

3. 자취(Trajectory) 및 영역 문제에서의 필수성

특히 자취나 영역 문제에서 매개변수(파라미터)를 소거할 때 동치성은 필수적입니다.

• 존재 조건: 단순히 t2=X라는 식에서 t를 소거한다고 끝나는 것이 아니라, 실수의 성질상 t2≥0이므로 **X≥0**이라는 조건이 동치적으로 따라붙어야 합니다. 이를 놓치면 구하는 자취의 범위가 틀리게 됩니다,.

요약하자면, 동치성을 의식하지 않고 식을 변형하면 논리적 범위가 확장되어 원래 답이 아닌 것까지 답으로 포함시키거나, 반대로 필요한 조건을 놓칠 위험이 있습니다. 따라서 식을 변형할 때는 항상 역으로도 성립하는지(필요충분조건인지) 확인하거나, 제약 조건(대입한 원래 식, 부등호 조건 등)을 남겨두어야 만점을 받을 수 있습니다,.