1. 그래프적 관점: 극댓값 또는 극소값이 0

3차 함수의 그래프를 그렸을 때, x축(y=0)과 접한다는 것은 그래프의 **산(극대)**이나 **골짜기(극소)**가 x축에 딱 닿아 있다는 의미입니다.

• 방정식의 해의 개수나 범위를 구할 때 **"그래프를 그려서 시각화하라"**고 강조합니다. 특히 상수를 분리하여(y=f(x)와 y=k) 그래프를 위아래로 움직이며 교점을 확인하는 방식을 설명하는데, 이때 접하는 순간은 극대값이나 극소값이 상수(여기서는 x축이므로 0)와 같아지는 순간입니다,.

2. 식의 관점: 중근(Multiple Root)을 가짐

방정식 f(x)=0의 관점에서 보면, 접한다는 것은 **중근(Repeated Root)**을 갖는다는 것을 의미합니다.

• 완전제곱식 인수: 3차 함수 f(x)가 x=α에서 접한다면, 식은 반드시 (x−α)2을 인수로 가집니다. 적분 공식을 설명할 때(1/12 공식 등), 접선과 3차 함수로 둘러싸인 넓이를 구할 때 교점이 접점이므로 식을 세울 때 제곱의 형태로 묶인다는 점을 언급합니다,,.

• 즉, 방정식 f(x)=0이 서로 다른 실근 2개를 갖거나(하나는 중근, 하나는 실근), 3중근을 갖는 경우입니다.

요약하자면: 3차 함수가 x축에 접하기 위한 조건은 **"극대값 × 극소값 =0"**입니다. (즉, 극대값이 0이거나 극소값이 0이어야 합니다.) 이를 확인하기 위해서는 미분을 통해 극값을 구하고 그래프의 개형을 파악하는 것이 정석적인 접근법입니다.