이 성질을 이용하면 복잡한 계산을 생략하고 인수분해를 할 수 있습니다. 구체적인 논리와 순서는 다음과 같습니다.

1. 교대식의 정의와 성질

교대식이란, 문자를 서로 바꾸면 원래 식의 -1배(부호가 반대)가 되는 식을 말합니다.

• 예를 들어, f(a,b,c)에서 a와 b를 서로 바꾸었을 때 f(b,a,c)=−f(a,b,c)가 되는 경우입니다.

2. 왜 '차의 곱'을 인수로 갖는가 (인수정리의 활용)

이 성질은 인수정리에 의해 설명됩니다.

• 교대식의 성질상, a=b를 대입하면 식 전체의 값이 0이 됩니다 (문자를 바꿔도 같은 값이어야 하는데, 부호가 반대가 되어야 하므로 X=−X에서 X=0이 됨).

• a=b일 때 식의 값이 0이 된다는 것은, 그 식이 (a−b)로 나누어떨어진다(인수로 갖는다)는 것을 의미합니다.

• 마찬가지로 b=c일 때 0이 되므로 (b−c)를 인수로 갖고, c=a일 때 0이 되므로 (c−a)를 인수로 갖습니다.

• 따라서 3변수 교대식은 반드시 (a−b)(b−c)(c−a) 라는 형태(차의 곱)를 포함하고 있다는 것이 확정됩니다.

3. 실전 풀이법 ('차수'와 '대칭식'을 이용한 조정)

이 성질을 알고 있다면, 다음 순서대로 기계적으로 인수분해를 할 수 있습니다.

1. 차의 곱 쓰기: 먼저 (a−b)(b−c)(c−a)를 씁니다.

2. 남은 인수 특정하기: 원래 식의 차수와, 방금 쓴 차의 곱(3차식)의 차수를 비교합니다.

    ◦ 만약 원래 식이 4차식이라면, 남은 인수는 1차식(k(a+b+c) 등)일 것이라고 추측할 수 있습니다. 왜냐하면 '대칭식 × 교대식 ＝ 교대식'이라는 성질이 있어, 차의 곱(교대식)으로 나눈 나머지는 대칭식이 되기 때문입니다.

3. 계수 비교: 특정 항(예: a3b)의 계수를 비교하여 상수 k를 결정합니다. 이렇게 하면 번거로운 전개나 정리를 하지 않고도 인수분해가 완료됩니다.

이처럼 교대식이 '차의 곱을 인수로 갖는다'는 성질을 이용하면, 복잡한 식 변형을 건너뛰고 마치 퍼즐처럼 답을 도출해낼 수 있습니다.