2. 정수 문제 해결을 위한 핵심 기능

단순히 나머지를 구하는 것을 넘어, 정수 문제를 풀 때 합동식이 강력한 도구가 되는 이유는 다음 두 가지 특성 때문입니다.

① 무한한 정수의 그룹화 (분류)

• 합동식을 사용하면 무한히 많은 모든 정수를 **p개의 그룹(나머지가 0, 1, ..., p−1인 그룹)**으로 유한하게 분류할 수 있습니다.

• 예를 들어, 모든 정수 n은 3으로 나눈 나머지에 따라 n≡0,1,2(mod3)의 세 가지 패턴 중 하나로 분류됩니다. 이를 통해 복잡한 정수 문제도 유한한 케이스만 조사하면 증명할 수 있게 됩니다,.

② 나머지의 연산 가능 (사칙연산의 자유)

• 합동식의 세계에서는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 그리고 거듭제곱 계산이 자유롭게 성립합니다,.

    ◦ a≡c, b≡d라면 a+b≡c+d, ab≡cd 등이 성립합니다.

• 특히, 큰 수를 계산하지 않고 나머지만 가지고 계산할 수 있다는 점이 핵심입니다. 예를 들어, 큰 수의 거듭제곱을 구할 때 실제 값을 계산하는 대신 나머지의 거듭제곱만으로 답을 도출할 수 있습니다,.

3. 실전 팁: 음수의 활용 (-1의 위력)

합동식 정의를 활용할 때 **음수(마이너스)**를 적극적으로 이용하는 것이 계산을 획기적으로 줄이는 비결이라고 강조합니다.

• 예를 들어, mod 3의 세계에서 나머지가 2인 것은 2≡−1(mod3)과 같이 -1로치환할 수 있습니다,.

• 이를 이용하면 2100과 같은 계산도 (−1)100=1과 같이 순식간에 처리할 수 있게 됩니다,.

결론적으로 합동식은 "나머지가 같다"는 정의를 통해 무한한 정수를 유한한 그룹으로 분류하고, 복잡한 수 계산을 나머지들만의 간단한 연산으로 치환해주는 도구라고 할 수 있습니다.