1. 부등식을 이용한 범위 좁히기 (Inequalities for Range Narrowing) 값의 범위를 한정하여 후보를 줄이는 방법입니다.

• 원리: 정수는 이산적(tobi-tobi)이므로, 부등식을 통해 범위를 한정하면 확인해야 할 후보가 유한해집니다.

• 적용: 예를 들어, 자연수 조건(x≥1)이나 소수 조건(p≥2)을 이용하여 변수의 범위를 좁힙니다. 어떤 식이 특정 값 사이에 존재해야 하는데, 그 사이에 정수가 없다면 해가 없다는 식(모순)으로 증명할 때도 사용됩니다,,,.

2. 배수와 나머지의 이용 (Multiples & Remainders) 정수의 성질, 특히 **mod(합동식)**를 이용하여 해를 찾거나 모순을 이끌어냅니다.

• 원리: 식의 양변을 특정 수로 나누었을 때의 나머지를 비교합니다.

• 적용: 특히 **제곱수(평방수)**와 궁합이 좋습니다.

    ◦ mod 3: 제곱수를 3으로 나누면 나머지는 0 또는 1입니다 (2는 될 수 없음).

    ◦ mod 4: 제곱수를 4로 나누면 나머지는 0 또는 1입니다 (2, 3은 될 수 없음).

    ◦ mod 8: 제곱수를 8로 나누면 나머지는 0, 1, 4 중 하나입니다.

    ◦ 이러한 성질을 이용해 좌변과 우변의 나머지가 일치하지 않음을 보여 해가 없음을 증명하거나 해의 형태를 특정합니다,.

3. 인수분해를 통한 곱의 형태 변형 (Factorization into Product Form) 식을 (정수) × (정수) = (정수) 형태로 변형합니다.

• 원리: 합이나 차의 형태로는 정수 해를 찾기 어렵지만, 곱의 형태로 바꾸면 약수와 배수의 성질을 이용할 수 있습니다.

• 적용: 예를 들어 x2−y2=9라는 식이 있다면, (x+y)(x−y)=9로 인수분해합니다. 이렇게 하면 x+y와 x−y는 9의 약수(1, 3, 9, -1, -3, -9) 중 하나가 되어야 하므로 후보를 획기적으로 줄일 수 있습니다,.

• 주의점: 우변이 미지수가 아닌 상수(특히 소수)일 때 가장 강력합니다. 우변이 소수(P)라면 약수가 1과 P밖에 없으므로 케이스가 매우 적어집니다.

소스에서는 이 세 가지 패턴(부등식, 배수/나머지, 인수분해)만 확실히 익혀두면 대부분의 정수 문제를 해결할 수 있다고 강조합니다,