1. 무한한 후보를 유한개로 압축

정수는 이산적(tobi-tobi)인 값을 가지기 때문에, 부등식을 통해 범위를 한정하면 확인해야 할 후보가 유한한 개수로 줄어듭니다.

• 예를 들어, 어떤 변수가 소수(prime number)이면서 "3 이하"라는 부등식 조건이 구해지면, 가능한 후보는 2와 3으로 확정됩니다.

• 실제 문제 풀이 예시로, 1335+⋯=n5라는 복잡한 식에서 n의 범위를 대략적인 부등식 평가를 통해 134≤n≤188로 좁혔습니다. 이를 통해 무한히 많은 정수 중 조사해야 할 대상을 획기적으로 줄일 수 있습니다.

2. 대소 관계 파악을 통한 불가능한 케이스 제거

부등식은 변수들 사이의 크기 관계를 명확히 하여 성립할 수 없는 경우를 배제하는 데 사용됩니다.

• 히토츠바시 대학 문제(m3−n3=999)에서, a2과 b의 대소 관계를 부등식(a2<b)으로 증명함으로써, 인수분해로 나온 여러 후보 쌍 중에서 이 조건을 만족하지 않는 것들을 소거하여 정답 후보를 3개로 압축했습니다.

• 또한, m3−n3>0 이라는 부등식을 통해 m>n 임을 확정 짓고 음수 케이스를 배제하는 등 해의 존재 범위를 명확히 합니다.

3. 더 정밀한 값의 특정 (평가)

단순한 범위 한정을 넘어, 값의 크기를 정밀하게 평가(Evaluation)하여 후보를 하나로 특정하는 데에도 쓰입니다.

• 앞서 언급한 n5 문제에서, 후보가 144와 174로 좁혀졌을 때, n=174인 경우 좌변의 값보다 우변이 훨씬 커진다는 것을 부등식 평가(1.35>2 등)를 통해 증명하여 174를 탈락시키고 정답을 144로 확정했습니다.

요약하자면, 정수 문제에서 부등식은 막연히 넓은 수의 바다에서 정답이 있을 만한 "구역"을 설정하고, 논리적으로 불가능한 오답들을 걸러내는 필터 역할을 합니다.