1. 부등식을 이용한 범위 좁히기 

정수 문제에서 변수가 취할 수 있는 값의 범위를 부등식으로 평가하여, 해가 될 수 있는 후보를 유한개로 한정하는 방법입니다,,.

• 활용: 예를 들어, 어떤 변수가 특정 값보다 작아야 한다는 것을 보여주거나, 변수들 사이의 대소 관계를 파악하여 불가능한 경우를 배제할 때 사용합니다. 만약 변수가 3 이하라는 것을 알게 되면, 소수(素数)인 해는 2와 3으로 확정되는 식입니다.

• 실제 예시: 오일러의 예상(Euler's conjecture) 관련 문제에서 n의 범위를 부등식으로 평가하여 134≦n≦188로 좁히는 과정이 소개되었습니다.

2. 인수분해로 '곱의 형태' 만들기 

방정식을 (식)×(식)=(정수) 형태로 변형하는 것입니다,,.

• 활용: 정수끼리 곱해서 특정 정수(특히 소수)가 되는 경우는 그 정수의 약수들로 한정되기 때문에, 해의 후보를 대폭 줄일 수 있습니다. 예를 들어 A×B=소수 p라면 (1,p),(p,1),(−1,−p),(−p,−1)의 4가지 경우로 좁혀집니다.

• 전략: 기본적으로 정수 문제에서 식이 주어지면 인수분해를 시도하여 곱의 형태로 만들 수 있는지 가장 먼저 확인하는 것이 좋습니다.

3. 배수・나머지의 이용 

정수를 특정 수로 나눈 나머지(mod)로 분류하여 성질을 파악하거나 모순을 이끌어내는 방법입니다,,.

• 활용: 합동식(mod)을 사용하여 무한한 정수를 유한한 그룹(예: 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2인 그룹)으로 나누어 조사합니다. 이를 통해 양변의 나머지가 일치하지 않음을 보여 해가 없음을 증명하거나, 해가 될 수 있는 수의 특징(예: 3의 배수여야 함)을 찾아냅니다,.

• 실제 예시: n3−7n+9가 소수가 되는 n을 구할 때, n을 3으로 나눈 나머지(0, 1, 2)로 분류하여 대입해보면, 모든 경우에 대해 식의 값이 3의 배수가 됨을 증명하여 해를 좁혀나갈 수 있습니다,.