1. 평균값의 정리의 활용 (게이오기주쿠대학 2022년 문제) 소스에 따르면, 2022년 게이오기주쿠대학 이공학부 입시 문제(대문 1번의 (3))에서 평균값의 정리를 사용하는 장면이 등장합니다.
• 문제 내용: 구간 (0, 1)에서 미분계수 h′(x)가 항상 0보다 작다면(<0), 함수 h(x)는 그 구간에서 단조 감소함을 증명하라.
• 증명 방법: 평균값의 정리를 사용하여, 구간 내 임의의 a,b (a<b)에 대해 b−ah(b)−h(a)=h′(c)를 만족하는 c가 존재함을 이용합니다. 여기서 h′(c)<0이고 b−a>0이므로 h(b)−h(a)<0, 즉 h(b)<h(a)가 되어 단조 감소함이 증명됩니다,.
2. 소스에 포함된 다른 수학적 증명들 평균값의 정리 증명은 없지만, 소스에는 다음과 같은 흥미로운 증명들이 포함되어 있습니다.
• 삼각함수의 덧셈정리 증명 (도쿄대 1999년): 코사인과 사인의 정의(단위원)와 제2코사인법칙, 또는 회전 행렬(벡터의 회전) 개념을 이용하여 가법정리를 증명하는 과정이 설명되어 있습니다,,.
• 페르마의 마지막 정리 (n=4) 증명: 무한강하법(Infinite Descent)을 이용하여 X4+Y4=Z2를 만족하는 자연수 해가 없음을 증명함으로써 n=4일 때의 페르마의 마지막 정리를 증명합니다,.
• 1+1=2의 증명: 페아노 공리계(Peano axioms)를 사용하여 자연수와 덧셈을 정의하고 1+1=2를 증명합니다,.
• 0!=1인 이유: 순열(nPn)이나 조합(nCn) 등의 공식과의 정합성(consistency)을 유지하기 위해 0!을 1로 정의해야 함을 설명합니다,.