2. 실전 돌입: 기본 유형별 문제 접근법

수학 시험은 시간과의 싸움이다. 효율성은 정형화된 문제에 대한 자동화된 접근법을 얼마나 잘 체화했는지에 달려 있다. 이 섹션에서는 빈출 기본 유형에 대한 명확한 사고 절차를 제시한다. 이 훈련을 통해 문제 인식 속도를 극한으로 끌어올리고, 풀이 과정을 기계적으로 수행하여 시간 단축과 정확도 향상을 동시에 쟁취해야 한다.

그래프의 심장, 꼭짓점을 찾아내는 기술: 완전제곱식

우리의 목표는 일반형의 흩어진 정보 속에서 그래프의 위치와 모양을 결정하는 '꼭짓점'이라는 핵심 정보를 캐내는 것이다. 완전제곱식은 그 정보를 추출하는 가장 정교한 도구다.

1. x²의 계수(a)로 묶어라: y = a(x² + (b/a)x) + c

2. 괄호 안에 필요한 것을 더하고 빼라: 괄호 안을 완전제곱식으로 만들기 위해 x 계수의 절반의 제곱, 즉 (b/2a)²을 더하고 즉시 뺀다. y = a{x² + (b/a)x + (b/2a)² - (b/2a)²} + c

3. 완전제곱식으로 묶고, 불필요한 항은 밖으로 빼내라: y = a{x + (b/2a)}² - a(b/2a)² + c

4. 상수항을 정리하여 표준형을 완성하라: 이 과정을 통해 우리는 y = a(x-p)² + q 형태를 얻는다. 여기서 꼭짓점의 좌표는 (p, q)이며, p = -b/2a이고 q는 정리된 상수항이다. 공식을 외우려 하지 말고, 이 변환 과정을 손에 익혀라.

x절편 및 y절편 계산하기

그래프가 좌표축과 만나는 점은 그래프의 가장 기본적인 신상 정보다.

1. y절편 (가장 쉬운 정보): x = 0을 대입한다. 일반형 y = ax² + bx + c에서 y절편은 언제나 (0, c)다.

2. x절편 (방정식의 해): y = 0을 대입한다. 이는 곧 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해를 구하는 것과 완벽히 동일하다. 해가 두 개면 x절편도 두 개, 중근이면 접점 하나, 허근이면 x절편은 없다.

판별식을 이용한 그래프와 x축의 교점 개수 판단

문제가 '실근의 개수', '교점의 개수', '만나는 점의 개수' 등 어떤 용어로 당신을 현혹하든, 그 본질은 단 하나, 판별식 D의 부호를 조사하는 것이다.

1. 문제의 본질을 간파하라: 질문이 이차함수와 x축(y=0)의 교점 개수를 묻고 있음을 즉시 인지한다.

2. 판별식을 계산하라: D = b² - 4ac를 계산한다.

3. 부호로 운명을 판정하라:

    ◦ D > 0 이면 교점은 2개.

    ◦ D = 0 이면 교점은 1개 (접한다).

    ◦ D < 0 이면 교점은 0개 (만나지 않는다).

기본적인 무기 사용법을 익혔으니, 이제부터는 변별력을 가르는 고난도 문제들을 격파하기 위한 한 차원 높은 전략들을 살펴보겠다.

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