좆뉴비 좆대딩인데 direct sum과 direct product의 차이가 뭔가요?
집합으로 보면 둘 다 cartesian product이지만 연산을 다르게 주는 것 같은데...
vector space 두 개를 direct sum 했을 때와 direct product를 했을 때 차이점을 알려주실 수 있을까요?
아니면
group 두 개를 direct sum 했을 때와 direct product를 했을 때 차이점을 알려주실 수 있을까요?
이것도 아니면 vector space에서는 둘 중 하나만 가능하고 group에서는 둘 중에 하나만 가능한 뭐 그런건가요?
direct "sum" 이라는 표현에서 알 수 있는데, direct sum은 기본적으로 abelian 구조(e.g. abelian group, ring, module(vector space를 포함한) 등)에서만 얘기를 한다 그런 구조가 아니라면 direct sum이라는 표현을 잘 안 씀
예를 들어 집합에서는 집합의 곱(product set)이라고 부르지 (A×B) 집합의 합(sum set)이라고는 (A⊕B) 하지 않잖아 그럼 abelian 구조에서는 direct sum과 direct product가 같냐? 유한한 경우라면 동일함 그러니까 A⊕B 나 A×B나 isomorphic함. 근데 무한한 경우라면 얘기가 좀 다름 (⊕_{i in I} A_i 와 Π_{i in I} A_i 는 다를 수 있다)
@ALTa 다항식환과 멱급수환에 대해 배웠는지 모르겠는데, (다항식과 멱급수(power series)을 모아놓으면 ring 구조가 된다는 것만 알아두면 됨) 체 F의 다항식환 F[x]를 예로 들면 F[x] ≅⊕_{i = 1 to infinitiy} F_i 로 쓸 수 있지만 F의 형식적 멱급수(formal power series)환 F[[x]]는 F들의 direct sum으로 표현할 수 없음