1. 치환은 함수로 생각할수 있다. 그리고 모든 치환은 순환으로 표기할수 있는데 다시 순환의 합성으로 표현가능

2. 만약 어떤 특정 치환이 주어지면 합성을 통해 다른 치환을 만들수 있다. 만들수 있는 모든 치환 집합이 군(치환군)이다. (특정 치환들로 이것과 같은 군을 만드는 모든 치환 집합이 이 군의 생성원 집합이다.)

3. Coset은 군 G를 G의 어떤 부분군을 기준으로 분할한 것이다. 부분군에서 합성되는 원소 위치에 따라 Left,Right로 다르게 구분됨.

4. 만약 어떤 부분군(H)이 켤레에 닫혀있으면 L,R 방식으로 분할되는 집합이 서로 같아진다. (정규부분군, 또는 Kernel)
L,R이 서로 같을때 Coset에서 임의의 연산을 정의할수 있다. 이렇게 G의 Coset으로 만들어지는 군을 몫군(G/H)이라고 부른다.(준동형사상 f:G→G/H, 군(G)의 모든 몫군은 군의 연산을 보존하는 모든 준동형사상의 개수와 같다)
여기서 몫군(G/H)이 가환군(아벨군)이 되는 조건은 정규부분군(H)이 교환자에 닫혀있어야 한다. (H가 G의 모든 교환자를 포함하면 H는 정규부분군이고, Coset 연산은 가환이다.)



현실에서 다룰때 유용한것 (예: 큐브)


켤레에 대한 순환 규칙은 유용하다. (켤레 변환은 순환 길이(치환 크기)를 보존한다(켤레류))
교환자에 대한 순환 규칙은 유용하다. (특정 조건에서 교환자 변환은 3-Cycle을 만든다)



여기서 더 간단해질수 있음?