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수체계차원론1-7.pdf
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위 링크 글을 먼저 읽으시면 됩니다.
불완전성정리는 간단히 무모순의 공리계로는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 있다는 것과 그 체계내의 무모순성을 증명할 수 없다라는
두가지 결론으로 이루어져 있습니다. 사실 굉장히 유명한 정리지만 괴델의 증명 자체가 굉장히 이해하기 어렵고 그 예도 찾기 어려운 면이
있어서 이번엔 누구나 이해하기 쉽게 설명을 해보려고 합니다. 먼저 모든 증명은 결국 A=A와 같은 공리의 동어반복이라고 볼 수 있습니다.
물론 완벽한 동어반복이라기 보다는 공리의 하위개념적 동어반복이라는 것이죠. 쉬운 물리학적 예시를 들자면 변화가 불연속이라는 공리가
있을 때 그 하위개념으로 증명될 수 있는 것이 바로 빛의 절대속도입니다. 그럼 결국 어떤 공리계에서 증명할 수 없는 명제란 무엇일까요?
그 공리계의 하위개념적 동어반복이 아니면서 참인 명제여야 합니다. 그렇다면 그 예시는 무엇일까요?
수학에서는 유클리드 공리계와 비유클리드 공리계가 있고 그래서 유클리드 공리계로는 증명할 수 없지만 비유클리드계로는 증명할 수 있는
명제가 있다면 그것이 적절한 예시가 될까요? 사실 비유클리드계로 어떤 명제가 참임을 증명을 했다고 하더라도 그 명제가 유클리드계에서까지
참이란 보장을 할 수가 없습니다. 즉, 유클리드계나 비유클리드계 모두 참이어야 불완전성 정리의 적절한 예시가 된다는 것이죠.
그렇다면 결국 가장 적절한 예시는 바로 '시간이 상대적일때 질량이 절대적이다.'란 명제가 상대론에서 참이고 그 대우가 반드시 참이므로
'질량이 상대적일 때 시간이 절대적이다.' 도 참이 되므로 이 예시가 바로 불완전성 정리의 가장 적절한 예시가 됩니다.
즉, 상대론으로는 증명할 수 없지만 분명히 참임이 보장된 명제가 있다는 것이죠. 물론 위의 유클리드와 비유클리드의 예에서도
이런 적절한 예시를 찾을 수 있을지 없을지 모르고 또 저는 생각나는게 없어서 일단 적지 못했습니다.
그런데 위의 대우 예시의 문제는 결국 모순적인 관계를 가지는 명제가 모두 참이 된다는 겁니다.
전통적인 논리학에서는 모순율, 배중률, 동일률등으로 (공리의) 모순을 허용하지 않으므로 둘 중 하나는 반드시 틀려야 하는데
결국 제 설명에서는 이론적으로 둘 다 참이라는 것이 문제라는 것이죠. 그런데 저 대우명제도 결국 전통적인 논리학을 통한 결론입니다.
따라서 이론적으로는 모두 참인 상위체계가 있어야 한다라는 결론이 도출 될 수 있습니다. 그러나 현상적인 하위체계에서는 둘 중 하나만
옳고 말이죠. 결국 어떤 모순을 해결하는 방법은 바로 차원을 높이는 겁니다. 차원을 높임으로써 모순이 각각 참으로 공존할 수 있다는 것이죠.
즉, 불완전성정리의 증명할 수 없지만 참인 명제가 있다는 것의 정확한 의미는 그 공리계의 차원보다 상위계인 차원이 있다는 것이죠.
사실 유클리드계와 비유클리드계는 평행성 공준하나의 차이로 구분되고, 상대론과 양자역학은 연속의 변화와 불연속의 변화로만 구분됩니다.
그 외의 공리는 다 같다는 것이죠. 그럼 왜 그것만 다른 걸까요? 그 다른 공준이 바로 서로 같은 공리와는 차원이 더 낮은 하위개념이기 때문에
같을 수가 없는 겁니다. 쉽게 말해서 현상적이기 때문이죠. 그리고 결국 불완전성 정리의 그 체계내의 무모순성을 증명할 수 없다는 것도
위의 설명에 포함 되어 있는 것과 마찬가지므로 설명을 생략해도 될 것 같습니다.
결국 저는 5차원이 바로 이런 모순이 공존할 수 있는 체계라고 했었죠.
갈루아의 군론에서 5차 방정식의 일반해가 없는 것도 바로 5차원이 더 이상 일반적이게 만들 수 없는 체계이기 때문이고 말이죠.
* 양자역학은 공리 하나로 이해할 수 있는 이론입니다.
이론이란 결국 공리의 동어반복인 결론에 불과합니다. 공리에 위배되지 않는 결과만이 도출되기 때문이죠. 그리고 공리만 제대로 구축되어
있다면 시간의 차이만 있을 뿐 그 이론은 누구나 이해할 수 있게 만들어지게 됩니다. 뉴턴역학과 상대론을 누구나 쉽게 이해할 수 있는 것처럼
말이죠. 결국 양자역학을 물리학자들이 이해하지 못했다는 것은 양자역학의 공리가 제대로 구축되어 있지 않다는 것을 의미합니다.
그래 놓고 (물리학자들은) 양자역학은 누구도 이해할 수 없다는 파인만의 개인적인 생각을 인용해서 누군가가 이해하려고 할 의지마저
꺾어버리려고 하고 있는게 현실입니다. 하지만 아이러니 하게도 양자역학은 아래와 같은 공리 하나로 이해할 수 있는 이론이었을 뿐입니다.
우주는 서로 다른 4차원(고립계)로 이루어진 5차원이다(우주는 서로 다른 고립계의 연속체이다.).
위의 공리대로라면
우주의 에너지가 고정일 경우 시간(대)이 변화하지 않는 것을 의미하므로 만약 우주의 에너지가 변화했다면 그건 시간(대)이 달라진 것이 됩니다.
또 각각의 시간은 고립계이므로 변화가 불연속이라는 것이 당연해집니다. 과거는 현재라는 시간대를 기준으로 사라졌으며 미래와도 상호작용하지
않기에 미래는 확률적이게 되죠. 결국 우리가 예측할 수 있는 것은 물리적으로 가능한 한 모든 사건이 동시에 일어난다는 것이 됩니다.
또 하나의 고립계에서 변화할 수 있는 것은 엔트로피입니다. 따라서 모든 고립계에서 엔트로피는 증가하게 된다고 생각할 수 있고 따라서
우주의 엔트로피는 증가합니다. 하지만 그것은 인간에게 그렇게 보이는 것일 뿐 우주는 영원 불멸합니다. 에너지 보존 법칙이 완벽히 지켜진다는
것의 의미가 원래 그런 것이기 때문입니다. 또한 운동량이라던가 가속도란 개념이 변화가 불연속이기에 사용될 수 없는 개념이 됩니다.
다만 한 고립계에서의 시간이 고정된 상태에서의 (엔트로피적) 변화만이 가능하므로 허수시간이란 개념이 존재하게 되며 허수시간동안에
기준의 연속 이동을 가정하면 미적분이 가능하긴하므로 오일러의 공식은 여전히 사용가능하게 되죠.
현재 물리학에서는 오일러의 공식의 허수 부분을 의미 없는 부분이라 생각하는데 제 이론에서는 질량이 상대적이게 되고 질량-공간-에너지 등가원리
식이 되므로 허수 부분은 공간 에너지를 의미합니다. 오일러의 공식과 관련된 자연상수e의 경우 불연속 변화가 계속 될 때 에너지가 증가하게 된다는
것을 잘 보여주는 식으로 암흑에너지를 쉽게 이해 할 수 있게 해줍니다. 빅뱅의 특이점이나 블랙홀의 특이점도 공간속의 빈공간인 진공 또는 4차원
내부의 빈 4차원으로 이해할 수 있게 됩니다. 4차원 내부의 빈 4차원은 자체로 중력적인 효과를 가지므로 암흑물질이란 것이죠.
따라서 저는 일반 양자역학을 위의 잘 '정의된' 공리 하나로 구조적으로 쉽게 정리했으며 수학적으로도 매우 간단하게 증명한 것이 됩니다
결국 제 이론은 양자역학의 일반화이기 때문에 제 이론에 수학 공식이 없는 게 아니라 기존의 잘 작동하는 물리학의 식들을 그대로 사용하면 된다는
것을 잘 설명해줍니다. 이러한 내용을 저는 제 책인 <완전론>과 <현대자연철학>에다 정리해 두었습니다.
자연이 그냥 그런거니 그 이유는 생각할 필요가 없다고 생각하는 사람이 아니라면 읽는데 크게 어려움은 없을 겁니다.
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