5명이 하는 가위바위보에서 3명이 작전을 짜면 승리 확률이 왜 달라지나요

[익명(121.163)]

책 ‘가위바위보-소수가 다수를 이긴다’ 에서 본 내용인데 이해가 잘 안 돼서 질문드립니다.

총 5명이 가위바위보를 하고, 그중 3명은 가족이고 2명은 가족이 아니라고 가정합니다.
1등 한 사람에게 상금을 주는 상황입니다.

이때 가족 3명이 미리 작전을 짜고 가위바위보를 하면, 가족 쪽의 승리 확률이 달라진다고 책에 설명되어 있는데, 수식이 이해가 되지 않습니다.

확률수식인데, 쉽게 설명해주시면 감사하겠습니다. 앞장 사진이 재귀식, 뒷 사진에 수식이 근사식이라고 합니다.

수학을 잘 몰라서 최대한 쉽게 부탁드립니다.

[수갤러 1(118.235)]

m 가족, n 안가족 p(m,n) 가족이 이길 확률

[수갤러 1(118.235)]

가족의 작전은 한판에 가족 1씩명 희생.

[수갤러 2(211.204)]

뭔소린지 모르겠음 뭘 구하고 매시행마다 어떻게 바뀌는건지 아무것도 안 적혀있잖아

[수갤러 2(211.204)]

더모르겠는데 왜 빠가 무승부고 바위가 이기는패고 지는패가 가위임 이거 가위바위보조차 아닌거 같은데 왜 가위바위보형식이지? 거기에 가족수가 3이면 왜 최대 3판인지도 의문임 무승부가 있다며.

[수갤러 9(118.235)]

@수갤러2(211.204) 무승부는 세개다 나오거나 한개만 나오거나. 승부가 날려면 2개만 나와야함. 어차피 무승부면 다시 하니까 무승부 판은 무시. 승부가 나는 판이라치고, 그중 가위-바위 짝을 예시로.

[수갤러 9(118.235)]

@수갤러9(118.235) 가족이 3명이면. 가족은 바위2, 가위1 이런식으로 지는거 1개. 가족은 마치 목숨이 3개 인것과 같음.

[수갤러 2(211.204)]

@수갤러9(118.235) 한명이 목숨 3개인 A와 하나짜리인 B,C 총 세명 있을 때 A가 이길 확률 P(3,2)는 책에서 주어진 식이랑 다름 한 판을 시도했을 때, 무승부 확률은 1/3이고 A가 이길 확률, 질 확률은 1/3임 A가 이길 확률중 두명 모두 이길 확률은 1/9고 한명만 이길 확률은 2/9라 P(A의 목숨,남은 놈들 수)로 정의하면 점화식은 P(3,2)=(1/3)P(2,2)+(1/3)P(3,2)+(2/9)P(3,1)+(1/9)가 나옴 책이랑 전혀다른식임

[수갤러 2(211.204)]

@수갤러9(118.235) 그니까 가족은 목숨 3개인 덩어리 해석은 틀렸음 문제가 뭔지 정확히 정의부터해야함

[수갤러 2(211.204)]

@수갤러9(118.235) 최대 3판이라는것도 이상함 무승부가 있는 이상 무한번 시행이 가능한데 왜 최대 3판임 그냥 문제가 너무 엉망임

[수갤러 9(118.235)]

@수갤러2(211.204) 가족3명 a,b,c 비가족 1명 d d는 abc 가 가족인줄 모름 4명이 가위바위보 해서 1등하면 100만원 상금 abc 는 몰래 작전을 짬 d는 그 사실을 모름

[수갤러 9(118.235)]

@수갤러9(118.235) 가족의 작전은 ab는 이기는손, c는 지는손 무승부는 의미없으니 빼고 승부가 나는 판에서 d는 살거나 죽거나 각 1/2 살았다면, 다시 가족은 a 이기는손,b지는손 무승부무시

[수갤러 9(118.235)]

@수갤러9(118.235) 승부가 나면, d는 또 죽거나 살거나1/2 살았다치고 a와 d의 1대1 승부 죽거나 살거나 1/2 최종 d가 살려면 1/2 세번

[수갤러 4(223.39)]

이 책의 핵심은 가위바위보로 합의된 소수가 합의하지 않은 다수를 이기는 방법에 대한거임

[수갤러 5(223.39)]

비가족 n이 1명이라고 했을때, 비가족에게는 무승부가 되는 패 (빠) 를 제외하고 2개의 선택지가 있다. 이기는 패 (바위) , 지는 패 (가위). 비가족이 이 두 패중 이기는 패를 낼 확률을 1/2 로 나타낼수 있다. 단, 비가족은 자신이 내는 패가 이기는 패 인지, 지는 패인지를 알 수 없다.

[수갤러 5(223.39)]

그렇기에 매 판마다 1/2의 확률을 성공시켜야 이길 수 있는 것이다. 하지만 가족은 다르다. 가족의 가위바위보 전략은 매 판마다 구성원중 한 명을 떨어트리는 것이다. 가족 수 m을 만약 3으로 가정하면 이들은 가위바위보를 최대 세 판까지 진행할수 있고, 매 판마다 떨어지는 인원은 한명으로 고정된다.

[수갤러 6(223.39)]

그렇기에 비가족 1명은 가족 3명을 상대로 3연승을 해야 우승할 수 있게 된다. 위 내용을 식으로 나타내면 (1/2)^3 이 된다. 이는 비가족 한 명이 가족 3명을 상대로 우승을 할 수 있는 확률이다. 가족 수에 m을 대입하면 (1/2)^m 으로 정의 할 수 있다.

[수갤러 7(223.39)]

이제 비가족의 수를 늘려보자. 각 판당 비가족이 가족을 상대로 이길 확률은 1/2 그리고 비가족이 우승을 하기 위해서는 m번만큼 연속으로 승리해야 한다. 하지만 비가족도 수가 늘어난다면 비가족의 승리는 각각의 독립적인 사건으로 보고, 위 식에 n제곱을 해야한다. 이는 어떠한 협의도 진행하지 않은 비가족들이 따로따로 연승에 도전하는 것이기 때문이다.

[수갤러 8(223.39)]

정리해 식으로 나타내면 (1-1/2^m)^n 을 가족의 승리 확률이라고 할 수 있다.