공부하다보니 문득 궁금해진거

[익명(175.201)]

회전체의 부피를 계산할때는 그냥 dx만 쓰는데 왜 표면적을 계산할때는 dx로 근사하지 못하고 굳이 ds 를 계산해야만 하는거야? 부피를 계산할때랑 표면적을 계산할때랑 이렇게 차이가 발생하는게 궁금함

[ALTa(tladud123)]

참고) int = integral = 적분기호 적분이라는 건 직관적으로 미소단위를 무한하게 더하는걸로 이해할 수 있겠지 그래서 길이 S = int ds 이고, 면적 A = int dA 이고, 부피 V = int dV 인거고 회전체의 경우 부피 dV = pi * y^2 * dx 니까 그렇게 대입하는거고 겉넓이 dA = 2pi * y * ds = 2pi * y * sqrt(dx^2 + dy^2) = 2pi * y * sqrt(1 + (dy/dx)^2) * dx 라서 그렇게 대입하는거고

[ALTa(tladud123)]

원뿔을 이용해서 dA와 dV를 더 정확하게 근사하면 dA = 2pi y ds + pi dyds dV = pi y^2 dx + pi y dxdy + pi/3 dxdydy로 쓸 수 있는데 (중간과정은 생략)

[ALTa(tladud123)]

@ALTa 이것들을 적분한다는 얘기는: int dA = int 2pi ds + (int pi dy) *ds int dV = int pi y^2 dx + (int pi y dx) *dy + (int pi/3 dx) *dydy 가 된다는 얘기이다. 여기서 dx -> 0 일 때 dy, ds 도 0으로 가므로 결국 int dA = int 2pi ds int dV = int pi y^2 dx 로 쓰는걸 정당화할 수 있지

[ALTa(tladud123)]

@ALTa dA 를 2pi ds가 아닌 2pi dx로 쓸 수 없음도 명확해지는데 dA - 2pi ds = pi dyds 이므로 이걸 적분한 값[(int pi dy)*ds]은 0으로 가지만 dA - 2pi dx 를 적분하면 int 2pi (ds/dx - 1) dx 가 되고 이 값은 0이 아니므로