제발 도와주십쇼

[익명(211.179)]

위에 처럼 풀었는데

2를x로 두고 9를 3x+3으로 두고 풀었더니 r이 -1이 나오는데

왜이런가요 수준낮은질문일지도 모르겠지만 설명해주실분을 찾습니다

[츄스꼬띠(resort1085)]

이거 굳이 이렇게 안 해도 2⁸까지만 계산 해봐도 나오는데

[익명(211.179)]

더 자세히 설명해주실수있나요???

[츄스꼬띠(resort1085)]

@글쓴 수갤러(211.179) 2⁶이 64 즉 나머지가 1이예요 2⁷⁵¹은 (2⁶)¹²⁵×2니까 9로 나눴을 때 나머지는 1¹²⁵×2=2 예요

[익명(211.179)]

@츄스꼬띠 오!! 감사합니다 훨신 더 직관적이네요

[NoOne(mdlh11)]

'2를x로 두고 9를 3x+3으로 두고 풀었더니' 나뉘는수(2^751)가 일정하더라도 나누는수와 Q(x)가 달라지니 나머지도 달라지는게 당연하지 않나

[익명(211.179)]

답지에서는 8을 x로두고 9를x+1로 두고 풀라고되있는데 2를x로 두고 9를3x+3으로 두고 풀면안돼는 이유가 있나요??

[수갤러 1(223.38)]

다항식의 나눗셈에서의 나머지와 자연수의 나눗셈에서의 나머지는 서로 다름. 물론 다항식의 나눗셈을 이용해서 정수의 나눗셈 문제를 풀기도 하지만, 어디까지나 수단일 뿐 둘을 동일시해서는 안 됨. 가령 100⁹⁹을 101로 나눈 나머지를 구한다고 해 보자. 100을 x로, 101을 x+1로 생각하여 x⁹⁹을 x+1로 나누어 보면 x³=(x+1)Q(x)+R이고,

[수갤러 1(223.38)]

*x³->x⁹⁹

[수갤러 1(223.38)]

나머지 정리를 통해 R을 구하면 R=-1이 나오는데, 여기서 R은 다항식의 나눗셈에서의 나머지임.(따라서 음수가 나올 수 있음.) 양변에 x=100을 대입하기 전에 Q(x)를 잠깐 생각해 보자. 조립제법을 통해 Q(x)를 구해 보려 하면, Q(x)의 계수가 모두 정수가 나옴을 알 수 있음.

[수갤러 1(223.38)]

따라서 Q(x)에 x=100을 대입하면 정수들의 덧셈과 곱셈이 되므로 Q(100)도 정수가 됨을 알 수 있음. 이제 x=100을 대입하자. 그러면 100⁹⁹=101Q(100)-1이 되는데, 이 형태는 자연수의 나눗셈의 정의와 살짝 다름. 자연수의 나눗셈 100⁹⁹=101q+r에서는 q, r이 정수이고 0<=r<101이어야 하는데, R은 음수이기 때문에

[수갤러 1(223.38)]

r과 같다고 할 수 없지. 즉 우리가 구한 식에서 형태를 살짝 바꾸어 주어야 함. -1=-101+100임을 이용하면 100⁹⁹=101Q(100)-101+100=101[Q(100)-1]+100이 되는데, Q(100)-1이 정수이므로 q=Q(100)-1, r=100이 되는 거임.

[수갤러 1(223.38)]

이러한 논리가 곧 본문 문제와 같은 유형의 문제들의 원리가 되는 것이므로 꼭 이해하기 바람. 덧붙여 본문처럼 2를 x로, 9를 3x+3으로 생각하여 풀게 되면 Q(x)의 계수들이 정수가 아니게 되어, Q(2)가 정수임을 보장할 수 없게 됨. 따라서 이런 방식으로 풀 수 없음.

[수갤러 1(223.38)]

조금만 더 얘기하자면, 그렇다고 9를 x+7로 두면 R의 값이 미치도록 커져서 식 변형이 불가능해짐. 그래서 이런 문제를 풀 때는 일단 Q(x)의 계수가 모두 정수가 되도록, 나누는 식 ax+b에서 a=1로 두는 것이고, R의 값을 구하기 쉽게 b=-1, 0, 1 등의 간단한 값으로 두는 것임.

[익명(211.179)]

@수갤러1(223.38) 와 명확하게 이해잘되네요 감사합니다!!