생각해보면 일반화된 펠 방정식의 풀이법

[수학한다고깝치..(jijapmathdepartment)]

은 “해의 범위 줄테니 대입해서 전부 찾아봐라 이기야” 정도지

D와 N의 관계로 웅앵웅하는 건 없나보네… 갑자기 식었노;

[익명(city8725)]

정수론이 하는 일이 다양하지만 대표적인 건 당연히 정수를 다루고, 그러다 보면 정수다항식도 다룸. 유리수도 다루고 mod p 같은 거도 많이 다룸. 예를 들면 x^2 - x - ! = 0 이러고 정수해를 찾을 수도 있지만 x^2 - x - 1 = 0 mod p, 즉 x^2 빼기 x 빼기 1이 p로 나눈 나머지가 0이다 이런 문제도 가능하고 그 외에 p-adic field라는 거도 가능함. 소수 p가 무한히 많으니 mod p로 다항식을 reduction하는 것도 가능한데 이게 정수나 유리수에 대한 문제를 소수 p를 정해서 mod p나 p-adic 문제로 바꾸는 건 가능해도 각 p에 대해 뭔가 정보를 안다고 역으로 정수해나 유리수 해를 알 수 있느냐? 하면 글쎄.. 보통 어려움

[익명(city8725)]

또 서로 다른 두 소수 p와 q가 있을 때 mod p 정보와 mod q 정보는 별로 상관이 안 보이고 걍 별개의 세카이임. 그럼에도 불구하고 이 두 세카이를 잇는 신기한 관계들이 있는데, 가장 먼저 찾아진 것은 quadraric reciprocity. 어떤 다항식 f(x) = 0 mod p를 풀기 이전에, 걍 해가 있냐 없냐 딱 그것만 물어볼 수도 있음. 가령 어떤 정수 a가 제곱수냐? 이건 계산기에 루트 쳐보면 될 일이지만 x^2 = a mod p냐? 이건 좀 더 어렵다는 얘기임

[익명(city8725)]

@ㅇㅇ 이제 이것을 만족할 때 a를 mod p의 2차 잉여라고 하는데, p가 mod q의 2차 잉여인지를 알면 반대로 q가 mod p의 2차 잉여인지 즉각 알 수 있는 신기한 관계가 밝혀져있음. 신기하지? 그리고 이 관계를 이용하면 그냥 어떤 정수 a를 줬을 때 이거 mod p로 2차 잉여임? 이걸 ㅈㄴ 빨리 계산 가능함

[익명(city8725)]

@ㅇㅇ 이게 현대 암호론에서 정수론적인 암호들을 채용하며 생긴 여파로 "어떤" 정수론적 알고리즘들은 빠른가? 이게 좀 중요해졌는데 여기엔 가령 이런 것들이 있다 1. mod p 거듭제곱 2. 최대공약수 구하기 (유클리드 호제법) 3. 임의의 실수에 대해 가까운 기약분수 찾기 (연분수 방법) 4. 어떤 수가 2차 잉여인지 체크 (지금 말한 거) 2차 상호법칙은 이런 식으로 오늘날 암호론에서 "이런 종류의 문제들은 엄청나게 빨리 풀 수 있다"는 무기 중 하나를 늘려버림

[익명(city8725)]

@ㅇㅇ 일단 f(x) = x^2 - a일 때 f(x)=0 mod p의 해가 있느냐 이게 2차 잉여의 문제지만 사실 그냥 일반적인 방정식 f(x) = 0에 대해 그런 답을 낼 수 있는가, 이게 정수론자들의 큼지막한 목표 중 하나고 갈루아가 5차방정식 비가해성 말하려고 갈루아 이론이 나온 거긴 하지만 이래저래 쓸모가 많은데, class field theory에 대한 중요한 결과 중 하나는 f의 "galois group이 abelian group이면" 항상 답할 수 있다는 거임

[익명(city8725)]

@ㅇㅇ 그럼 f가 abelian이 아닌 경우 저게 답할 수 있는 문제인가? 하면 좀 특이함. f에 대해 뭔가 급수를 만들어서 급수의 각 계수를 읽으면 그게 해의 존재성이 되도록 할 수는 있는데 다만 그 급수를 어케 다룰 건지, 어떤 성질들이 있는지 이런 건 어렵고 신기하게도 (좋은) 타원곡선의 경우 그런 급수가 복소해석에서 중요한 cuspical automorphic form을 이루는데 이게 막 그냥 일대일 대응이라고 보면 반례도 있고 해서 Hecke eigenform이니 뭐니 좀 명제를 깎아야 함. 전체적으로 아이디어는 타원곡선의 해의 존재성을 급수로 나타내면 보형 형식(automorphic form)임

[익명(city8725)]

@ㅇㅇ 더 신기한 건 모든 (좋은) 보형 형식이 그런 식으로 얻어져야 하는 것 같단 말이지, 이런 시무라-타니야마 추측의 증명이 어찌어찌 잘 되어서 현재 이름은 추측이 아닌 모듈러성 "정리"이고, 그로부터 따라나오는 결론은 아주 유명한 페르마의 마지막 정리라는 게 있음

[수학한다고깝치는병신(jijapmathdepartment)]

그러니까 펠 방정식 x^2-dy^2=n이 주어지면, n mod p(여기서 p는 d의 소인수)를 이차상호법칙을 통해서 p의 이차잉여인지 확인하는 방법을 d의 모든 소인수 에 대해서 확인하면 해를 안 갖는 경우엔 빠르게 검증할 수도 있다는 거네

[수학한다고깝치는병신(jijapmathdepartment)]

댓글 다는 도중에 뭔가 또 ㅈㄴ 달렸네 갑자기 존나 어려워지노