고딩 극한이 비엄밀하다는건 좀 과장임

[서해공무원(walking0314)]

lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x)

lim 1/x = 0

이런걸 만족하는 함수 lim에 대해 다루는 것임

공리로 받아들이면 엄밀함

[익명(city8725)]

“매우 가깝다”라는 모호한 말이 쓰이는 순간 더이상 엄밀하지가 않은 거. 공리로 받아들이면 엄밀하다는 것도 씹소리임

[익명(city8725)]

매우 가깝다는 게 어느 정도로 얼마만큼이나 어떤 방식으로 가까운 건지 명확히 해야 엄밀한 거임, 그걸 명확히 나타낸 게 입실론-델타고

[서해공무원(walking0314)]

@ㅇㅇ 매우가깝다는 말이 교과서에 잇더라도 무시하면댐. 그냥 저런 성질들을 만족하는 함수 lim_{x->a}:((b,c)에서 R로 가는 함수들만 다모은 집합)->R 에 대해 다루는 거라 하면 엄밀해짐

[익명(city8725)]

@서해공무원 교과서에 있는 정의를 왜 무시해야 함? 그걸 교과서라 할 수 있음?

[서해공무원(walking0314)]

@ㅇㅇ 엡실론델카 없이 엄밀하게 하고 싶으면 내말대로 하면 된다는거ㅛ

[서해공무원(walking0314)]

@ㅇㅇ 비엄밀함이 크게 불편하지 안으면 교과서의 한없이가깝다는 말 그냥 받아들이면되고

[수갤러 1(123.215)]

@ㅇㅇ lim이라는 함수를 ring homomorphism처럼 정의했다고 하면 되잖아. 함수환에서 실수로 가는 함수인데 이제 덧셈과 곱셈을 보존하는 성질을 가지는 거지. cf(x)에서 c는 그냥 상수함수로 두면 상수곱을 따로 성질로 둘 필요도 없고. 1 / f(x)에 관한 성질도 정의할 필요 없음. 치역에 0이 없는 함수 f에 대해 1/f라는 함수를 성분별 역수로 정의하면 1/f는 f의 역원이 되지. 그러면 1 = lim(1) = lim(f * 1/f) = limf * lim1/f에서 실수체의 소거법칙 쓰면 lim(1/f) = 1/limf 얻으니까. 이제 고등학교에서 쓰이는 모든 함수를 조립할 수 있는 기저처럼 작동하는 함수들에 대해 lim의 함수값을 정의해주면 되겠지.

[수갤러 1(123.215)]

@ㅇㅇ 그리고 실제 해석학의 lim 관련 정리들을 정의로 도입해서 sin 2x 같은 걸 처리하고 합성함수를 처리하면 되는 거잖아.

[수갤러 1(123.215)]

@ㅇㅇ 이러면 ㅈㄴ 엄밀한 거 맞는데? 대신 대체 왜 lim의 정의가 이렇게 되는 건지에 대한 의문이 남겠지. 옛날에는 자연수 공리를 그냥 썼는데 요즘은 자연수 집합과 연산을 집합론적으로 정의하고 자연수 공리를 증명하는 방식이잖아. lim도 lim의 실체를 앱실론델타로 정의하는 게 아니라 그냥 lim이라는 함수로 정의한다고 치면 자연수 공리를 쓰는 거랑 크게 차이는 없음. 심지어 lim은 함수니까 집합론 체계 위에서 완전히 설명되는 대상이기도 하고. 대신 자연수 경우와는 다르게 lim은 누가봐도 자명한 건 아닌 성질들이 있으니까 공리가 될 수 없는 거지.

[서해공무원(walking0314)]

@수갤러1(123.215) ㄹㅇㄹㅇ 기본적인 함수들의 lim값을 왜그리 정의햇는지에 대한 모티베이셔이 바로 "한없이 이가까이간다"

[ㅆㅅ(siiot)]

@수갤러1(123.215) 그딴식이면 덧셈은 linearity를 만족시키고 1+1=2로 정의되는 함수 +로 정의해도 된다는 거냐? 개소리노

[ㅆㅅ(siiot)]

@수갤러1(123.215) "기저처럼 작동하는 함수"를 뭘로 정할 건데? lim를 정의하는 거니까 유한합만 써야할텐데, 그럼 그 수많은 기저의 함수들의 lim 값은 무슨 수로 정하는데? 공리라고 했으니까 그냥 저 조건들 만족시키는 아무 함수나 다 허용하냐? lim를 함수를 1로 보내는 상수함수로 둬도 극한인 거네?

[익명(149.88)]

@ㅆㅅ lim x->a , g(x) -> -1일때 x->a,sqrt (1+g(x))의 존재는 있을수도 없을수도 있음?

[서해공무원(walking0314)]

@ㅆㅅ x, e^x, ln x, sin x 정도면 될듯

[서해공무원(walking0314)]

@서해공무원 아 실수 r에 대해 x^r도 넣어야겟네

[서해공무원(walking0314)]

@서해공무원 상수함수 1도 넣어야겟군

[서해공무원(walking0314)]

@ㅇㅇ(149.88) 덧셈조건에 의해 lim(1+g(x))=0, 합성함수조건에 의해 lim루트(1+g(x))=0 이렇게 되겟지

[익명(149.88)]

@서해공무원 근데 루트안이 >0라는 조건 때문에 gx따라 정의역이 끊겨서 나오지않음?

[서해공무원(walking0314)]

@ㅇㅇ(149.88) 아그러네. g(x)가 a근방에서 -1이상일때만 그리될듯. 어차피 g(x)가 계속 -1보다 작거나 하면 기존 비엄밀버전에서도 못다룸

[ㅆㅅ(siiot)]

lim_{x → 0} 1 = lim_{x → 0} x(1/x) = lim_{x → 0} x lim_{x → 0} 1/x ???

[서해공무원(walking0314)]

더 정확히는 lim_어쩌구 는 (b,c)에서 R로 가는 함수만 다 모은 집합에서 R과 {발산}의 합집합으로 가는 함수라 해야 함. 덧셈이 찢어진다는 조건은 정확히는 "모든 f,g에 대해, lim f, lim g가 실수면, lim(f+g)=lim f + lim g"로 해야 함