자연수집합 N의 균등확률이 없다는건 아까 아벨두두가 증명함


확률의 정의에

  • 모든 배반사건 A0,A1,A2,... 드 N 에 대해 P(A0 U A1 U A2 U ...) = P(A0)+P(A1)+P(A2)+...

라는 조건이 들어있어서 균등확률이 없는 거임.

균등확률 P가 있다 치면

1 = P(N) = P({0})+P({1})+P({2})+... = 0 or 무한대

이런 모순이 나오기 때문


근데 저 조건을

  • 모든 배반사건 A0,A1,A2,...,An 드 N 에 대해 P(A0 U A1 U A2 U ... U An) = P(A0)+P(A1)+P(A2)+...+P(An)

이렇게 약화해보자

그니까 원래 조건은 집합 개수가 유한개든 무한개(A0,A1,A2,...)든 성립해야 된다는 거였는데 그걸 유한개(A0,A1,A2,...,An)일 때만 성립해도 된다고 약화한거임

그럼 P(N)=P({0})+P({1})+P({2})+...은 성립할 필요 없으니 모순은 안 나옴


확률의 정의를 이렇게 약화하면 N의 균등확률이 있다 함

증명은 쉽지 않음

그리고 그 균등확률을 도입한다면 자연수 하나가 뽑힐 확률은 0임

A가 무한집합일 때나 의미가 있는 확률임

예를 들어 A가 짝수 전체의 집합이면 P(A)=1/2 이런 식으로 나오게 균등확률을 정의할 수 있음