내가 오늘 학교에서 강의 듣다가 깨달은 개쩌는 통찰을 서술하기 위해서는 일단 선수적인 연구가 필요함.


파편적으로 서술하다가 때가 되면 내 연구를 공개하겠음.


그 첫번째 파편이 기저의 종류에 대한 거임.


정확히 말하면 V가 n차원 F-벡터공간일 때 {B | B는 V의 순서기저}의 기수가 뭐냐는 거야.


지엽적인 논의같고 생각보다 자명해보이는데 생각보다 안 풀려서 놀랐음.


나는 수학과가 아니라 컴공이라 걍 AI한테 물어봤는데 증명이 ㅈㄴ 쉽긴 하더라.


F가 유한체인 경우는 너무 추상대수적이니까 당연히 무한체인 경우만 생각했음.


n x n 정방행렬 공간을 M_n이라고 쓰고 그 중에 가역행렬만 모아놓은 걸 GL(n; F)라 써보자.


GL이 일반선형군인데 위키백과에서 저렇게 쓰라고 했음 ㅇㅇ


M_n이 F^(n^2)과 isomorphic한 건 초등학생도 아니까 굳이 설명 안 해도 되고.


아 그리고 왜 가역행렬 공간 즉, 일반선형군을 생각하는지 안 말했는데,


선대군에 나오는 GL(n; F)과 V의 순서기저 사이에 전단사가 존재한다는 사실로부터 생각한 거임.


여기까진 내가 스스로 생각했음ㅋ


물론 선대군에서는 저렇게 세련된 문장으로 나오진 않고 아래처럼 나옴.


나는 컴공 치고 수학적 성숙도가 비정상적으로 높아서 저렇게 세련된 문장으로 표현할 수 있는 거임.




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그리고 GL(n; F) ⊂ M_n이니까 |GL(n; F)| ≤ |F|^(n^2)인데 F가 무한기수니까 |F|^(n^2) = |F|임.


왜 그렇게 되는지는 집합론 꼼꼼하게 공부 안 해서 잘 모름.


가산무한이면 그 자연수 2차원처럼 배열해놓고 전단사인 거 보이는 건 해석학 책에서 본 적 있는데 F가 비가산무한이면 잘 모르겠는데 어쨌든 성립한다고 두자고.


즉, |GL(n; F)| ≤ |F|임.


이제 아래의 발상을 한 번 보셈.



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이제 |GL(n; F)| = |F|을 증명했음.


참고로 F가 유한체면 아래처럼 기수를 가지는데 사실 나는 이거에는 관심 없음.



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그래서 이게 지금 내가 하는 연구에 왜 필요하냐면,


사실 나도 잘 모름.


그냥 연구를 위해서 선형사상의 행렬표현 복습하다가 기저를 바꿔보는 상상하는데 기저 종류가 무한한다고 상상해야할지, 가산무한으로 해야할지 비가산무한으로 해야할지 상상이 안 돼서 그랬음.


이거 잘 상상할 수 있도록 저걸 공부한 거임.


이상임ㅋ