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선5줄요약


1. 자연수 균등하게 못 뽑음


2. 뽑을 수 있다 치자.

2.1. a 고정해놓고 b만 랜덤뽑기 하는거면 a>b일 확률 0퍼

2.2. b 고정해놓고 a만 랜덤뽑기 하는거면 100퍼

2.3. a,b 둘다 랜덤뽑기 하는거면 50퍼임







1. 자연수 균등하게 못 뽑는 이유


일단 직관적으로 그럴거 같음

랜덤으로 뽑으라 해서 1239무량대수 이런걸 뽑앗다 해도 전체 자연수에 비하면 엄청 작은 수임


그리고 자연수집합 N에 균등확률이 없기 때문이기도 함

(없다는 증명: 균등확률 P가 있다 치면  1 = P(N) = P({0})+P({1})+P({2})+... = 0 or 무한대라서 모순임)







2. 뽑을 수 있다 치자


균등확률은 없으니 조건을 약화해서 균등ㅄ확률이라는 걸 정의하자

함수

P: (N의 부분집합만 다 모은 집합) -> [0,1]

로서

  • P(공집합)=0,
  • 모든 A,B드N에 대해, A∩B=공집합이면, P(A∪B)=P(A)+P(B)
  • P(N)=1

인걸 N의 ㅄ확률이라 정의하겠음

그리고

  • 모든 aㅌN, 모든 A드N에 대해, P(A)=P(a+A)

까지 만족하면 N의 균등ㅄ확률이라 정의하겠음

N의 균등ㅄ확률이 존재하는지는 확인 안해봣는데 ai가 있다함

N X N의 ㅄ확률도 비슷하게 정의할 것.







2.1. a가 고정돼있다 치고 b만 N의 균등ㅄ확률 P에 입각해서 뽑는다 치면

우리가 구해야 되는 확률은

P({0,1,2,...,a-1})임

근데 좀 생각해보면 유한집합의 값은 다 0인걸 알수 잇음

(증명: A가 유한집합이라 하자. c=maxA+1이라 하자. 그럼 모든 mㅌN에 대해 mP(A) = P(A)+...+P(A) = P(A)+P(c+A)+P(2c+A)+...+P(mc+A) ≤ P(N) = 1 이렇게 됨. 그니까 P(A) ≤ 1/m 이렇게 됨. 모든 m에 대해 저렇게 되니까 P(A)=0임)

따라서 P({0,1,2,...,a-1})=0

그니까 a>b일 확률이 0%임







2.2. b가 고정돼있고 a만 N의 균등ㅄ확률 P에 입각해서 뽑는다 치면

우리가 구해야 되는 확률은

P({b+1,b+2,b+3,...})임

근데 유한집합은 다 0으로 간댔지

따라서

0+P({b+1,b+2,b+3,...}) = P({0,1,2,...,b})+P({b+1,b+2,b+3,...}) = P(N) = 1

그니까 a>b일 확률이 100%







2.3. a,b를 둘다 균등하게 랜덤으로 뽑는다 치자.


우리가 구해야 할 건

{(a,b): a>b}의 ㅄ확률임


근데 아직 N X N의 ㅄ확률을 안 줬으니까

N의 균등ㅄ확률 P가 주어져있다 치고

N X N의 ㅄ확률 Q를 정의해보자


어케 정의할지는 자유지만

  • 모든 A,B드N에 대해, Q(A X B) = P(A)P(B),
  • (대칭성) 모든 C드NXN에 대해, Q(C)=Q({(a,b):(b,a)ㅌC})

이건 다 만족하게끔 정의해야 할거 같음

첫번째 조건이 말하는건 사건A랑 사건B가 다 일어날 확률이 P(A)P(B)라는 거임

두번째 조건이 말하는건 예를들어 a<b일 확률과 a>b일 확률이 같다는 거임

이 두개는 만족하는게 자연스럽겠지

이걸 만족하는 N X N의 ㅄ확률 Q가 존재하는지는 확인 안 해봤지만 ai가 있다함


근데 그러면

Q({(a,b):a>b})=1/2

가 됨

이게 왜 그러냐면 Q가 대칭성을 만족해서 반띵되는 거임.

더 정확히는

1 = P(N)P(N) = Q(NXN) = Q({(a,b):a>b}∪{(a,b):a<b}∪{(c,c):cㅌN}) = Q({(a,b):a>b})+Q({(a,b):a<b})+Q({(c,c):cㅌN}) 이고

Q가 대칭성을 만족하니까

= 2Q({(a,b):a>b})+Q({(c,c):cㅌN}) 임.

이제 Q({(c,c):cㅌN})=0만 증명하면 되는데 암튼 맞음


따라서 a>b일 확률이 50%임