철학에 의해 행렬은 선형사상이다.
이것은 말장난이 아니다.
우주의 존재하는 모든 벡터공간의 순서쌍 (V, W)과 그 사이의 선형사상 L의 구조에 대한 심각한 정보이다.
표준표현 [ ]_β는 isomorphism이므로 모든 n, m차원의 벡터공간과 그 사이의 선형사상에 대해 구체적인 F^n, F^m과 그 사이의 행렬 문제로 환원할 수 있는 것이다.
이건 아주 심각한 정보이다.
V와 W와 L의 문제, 그리고 F^n과 F^m과 A의 문제는 이름과 연산기호의 표기만 다를 뿐이다.
기본 중 기본이다.
나는 컴공이기 때문에 n + 2 = O(n) 같이 '='를 남용한 표기를 쓸 수 있다.
'='를 남용한다고 나를 비난하는 것은 저 표기를 채택한 컴퓨터과학 대가들을 비난하는 것과 같다.
따라서 나는 '='를 남용할 것이다.
그러나 원소들의 이름만 다르다는 점을 제외하면 실제로 같기 때문에 적절한 남용이다.
C(A) = im L
Ax = 0의 solution space = ker L
{A | A의 열벡터들은 일차독립} = {L ∈ L(V, W)| L은 monomorphism}
{A | C(A) = F^n} = {L ∈ L(V, W)| L은 epimorphism}
GL(n; F) = {L ∈ L(V, W)| L은 isomorphism}
예를들어 C(A)는 A의 열들이 생성하는 공간 Im L_A와 같고, im L_A는 위 가환그림을 거꾸로 타고 올라가면 im L과 사실상 같다.
즉 C(A)가 F^m의 부분공간으로서 존재하는 구조와 im L이 W의 부분공간으로서 존재하는 구조는 정확히 동일하다.
ker L과 ker L_A(Ax = 0의 sulution space)도 마찬가지이다.
이제 기초는 되었고, 연립선형방정식과 기본행연산을 벡터공간과 선형사상의 관점에서 바라보자.
여기서 L(A) = (1, 2, 3)^t를 만족하는 모든 A를 구하는 문제를 생각하자.
선형사상 L을 행렬로 바라보고 소거법을 써서 풀면 된다.
dim V = 6이고 표준기저 β를 쉽게 생각할 수 있다.
그 기저에 대한 표현행렬과 [A]_β로 만든 연립선형방정식을 소거법 써서 풀면 된다.
그런데 이런 행위가 왜 정당화되는가?
기본행연산은 기본행렬을 왼쪽에 곱하는 것과 같다.
그런데 기본행렬은 invertible이다.
내가 오늘 학교에서 강의 듣다가 깨달은 개쩌는 통찰을 서술하기 위해서는 일단 선수적인 연구가 필요함.파편적으로 서술하다가 때가 되면 내 연구를 공개하겠음.그 첫번째 파편이 기저의 종류에 대한 거임.정확히 말하면 V가
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위 글에 따르면 GL(m; F)과 W의 기저들 집합 사이에 전단사가 존재한다.
그 전단사는 W의 기저 하나를 정하고 그 기저로부터 P ∈ GL(m; F)의 열벡터 성분들로 일차결합을 해서 얻은 새로운 기저 β'에 대해 f(P) = β'로 정의되는 함수 f를 말한다.
그런데 P ∈ GL(m; F)에 대해 추이행렬(기저변환행렬)을 항등사상 I의 기저 β와 f(P)에 대한 행렬표현으로 두면 P와 같아진다.
즉 가역행렬과 추이행렬은 같은 말이다.
여기까지는 자명한 사실이었다.
이제 기본행렬을 왼쪽에 곱하는 행위를 벡터공간과 선형사상의 언어로 번역하면 '공역의 기저를 조작하는 행위'가 된다.
또 다른 말로, 기본행연산은 공역의 기저를 조작하는 행위이다.
또한 이 공역의 기저를 조작하는 행위가 해공간을 바꾸지 않는 이유는 다음이 자명하게 성립하기 때문이다.
위 식을 그대로 선형사상의 언어로 번역하여 합성이라고 생각할 수도 있다.
invertible이니까 마치 cancellation law가 성립하는 것처럼 작동하는 것이다.
실제로 L(V, V)와 정칙행렬 공간은 F-algebra라는 대수구조이다.
여기까지가 내가 8시간 동안 선대군 복습하면서 정리한 내용임.
더 추가할 유용한 사실들을 댓글이나 글로 써주셈.
내 개쩌는 글에 빨리 추천을 누르셈. 8시간 동안 연구해서 글 쓴 건데 아무도 추천을 안 눌러.
어케 F algebra
F algebra가 아니라 체 위의 대수(algebra on a field)였음. 체 위의 대수를 F algebra로 쓰는 줄 알았어.
@해석학(123.215) ㅇㅎ 원래 니 의미댜로도 쓰는듯