"x^2=1을 만족하는 x 값은 1이다."는 문장은 틀린 것이다.


x=-1도 있기 때문이다.


답이 더 있다면 그 답까지 써야 맞게 되는 것이다.




a=b이면 b=a는 항상 참이고


이를 등식의 대칭성(Symmetric Property of Equality)이라 하며


등호(=)의 좌변과 우변을 서로 바꾸어도 그 관계가 성립함을 의미한다고 배워왔다.




따라서 a=b와 b=a는 완전히 동일한 의미를 가지는 것으로 배워왔다. 




이제 항이 3개인 유한수열 n=1, 2, 3을 생각하자.


일반항이 n인 수열의 제1항, 제2항, 제3항은 각각 1, 2, 3인 것이다.


좌변과 우변을 바꿔 쓰면 1, 2, 3=n이다.


정말 유한수열 1, 2, 3의 일반항은 n일까?




[b]_a는 b를 a로 나눈 나머지라고 하자.





그러면 1, 2, 3=1+[n-1]_3 또한 가능하다.


1, 2, 3=(-n^3+6n^2+6)/11 또한 가능하다.


따라서 유한수열 1, 2, 3의 일반항을 n 뿐이라고 말할 수 없다.


사실 유한수열 1, 2, 3의 일반항은 무한히 만들어낼 수 있다.


일반항 n은 무수히 많은 일반항 중 하나일 뿐이다.


그러므로 1, 2, 3=n은 틀린 것이다.


(물론 등차수열 1, 2, 3의 일반항은 n이라고 할 수 있다.)





즉 이 경우 등호는 방향성을 가지고 있다.


등호가 방향성을 가지므로 좌변과 우변을 함부로 바꿔 쓸 수 없는 것이다.





극단적으로 항이 1개인 유한수열 n=1을 생각하자.


반드시 1=n일까?


아니다.


1=n^2

1=n^3

1=n^4

...


항이 1개인 유한수열 1의 일반항은 무한히 만들어낼 수 있다.


결국 n=1이지만 1=n만이 아니다.


왜냐하면 등호가 방향성을 가지기 때문이다.


n=1에서 좌변에서 우변으로 가는 것은 가능하다.


그러나 우변에서 좌변으로 가는 것은 안된다.

(좌변과 우변을 바꿔쓰는 것은 안된다)





이것은 다음 문제에도 적용된다.


1, 2, 3, ..., 8, 9, 10에 무엇이 생략되어 있는 것일까?


4, 5, 6, 7이 생략되어 있는 것일까?


그렇다면 1, 2, 3, ..., 8, 9, 10=n을 생각한 경우이다.



그러나 어쩌면 1, 2, 3, (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), 8, 9, 10을 생략한 표현인지도 모른다.


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10=1+[n-1]_10을 생각한 경우이다.


우리는 직접 등호로 표현 안된 문제를 접하고 있지만 등호로 나타내보면 위와 같은 문제점이 도사리고 있다.




즉 방향성이 있는 등호 문제였던 것이다.




IQ 검사에 이와 같은 문제 혹은 변종 문제들이 등장한다.


우리는 이와 유사한 문제들을 종종 풀고 있고 분명 반복적인 오류를 저지르고 있다.


무한히 많은 대답 가능성이 있는 문제인데 단일한 답을 요구하고 있고 이에 응하여 단일한 답을 적고 있는 것이다.