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등식의 반사성 깨짐: a=a ?
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일반항 1이고 항의 개수가 1개인 유한수열은 다음과 같이 표현할 수 있다.
1=1
이때 좌변 1은 일반항이고 우변 1은 제1항이다.
좌변1=우변1로 생각하자.
이때 우변1=좌변1이 성립하지 않는다.
즉 유한수열 1의 일반항은 1만 있는게 아니기 때문이다.
다음과 같이 무한히 많은 일반항이 존재한다.
1=1
1=n
1=n^2
1=n^3
...
따라서 좌변1=우변1이지만
우변1=좌변1이 성립하지 않는다.
1=1이지만
좌변과 우변을 바꿔쓰면
1=1이 아니다.
숫자가 같아보여도 방향성은 여전히 존재한다.
즉 수열에서 등식의 반사성이 깨진다.
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등식의 대칭성 깨짐: a=b이면 b=a ?
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일반항 n이고, 항이 1개인 유한수열 n=1을 생각하자.
1=n이 성립하지 않는다.
유한수열 1에 대한 일반항은 n만 존재하는 것이 아니라 무한히 존재한다.
1=1
1=n
1=n^2
1=n^3
...
즉 n=1이지만 1=n이 아니다.
수열에서 등식의 대칭성이 깨진다.
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등식의 추이성 깨짐: a=b이고 b=c이면 a=c ?
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(이 부분은 클로드 AI와 협업이 있었음)
항이 3개인 유한수열 n=1, 2, 3을 생각하자.
유한수열 1, 2, 3의 일반항은 다음과 같이 무한개이다.
1, 2, 3 = n-c(n-1)(n-2)(n-3)
c는 임의의 상수
따라서 n=1, 2, 3 이고 1, 2, 3=n-c(n-1)(n-2)(n-3) 이지만
n ≠ n-c(n-1)(n-2)(n-3)
이렇게 수열에서 등식의 추이성이 깨진다.
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f(n)=f(1), f(2), f(3), ...이면 g(f(n))=g(f(1)), g(f(2)), g(f(3)), ...
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그럼에도 불구하고 수열의 등식 표현 f(n)=f(1), f(2), f(3), ...의 양변에 g를 작용시킬 수 있으므로
등식의 양변에 유용한 g를 작용시켜 새로운 표현들을 얼마든지 얻어낼 수 있다.
<등차수열 유도하기>
n=1, 2, 3, 4, 5, ...
양변에 1을 빼면
n-1=0, 1, 2, 3, 4, ...
양변에 d를 곱하면
(n-1)d=0, d, 2d, 3d, 4d, ...
양변에 a를 더하면
a+(n-1)d=a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ...
<등비수열 유도하기>
n=1, 2, 3, 4, 5, ...
양변에 1을 빼면
n-1=0, 1, 2, 3, 4, ...
밑 r을 양변에 취하면
r^(n-1)=r^0, r^1, r^2, r^3, r^4, ...
r^0이 의미를 가지도록 r ≠ 0이라 하면 r^0=1이므로
r^(n-1)=1, r^1, r^2, r^3, r^4, ...
양변에 a를 곱하면
ar^(n-1)=a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ...
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오 그래서 등식의 대칭성이 깨져서 등차수열 공식은 합차공식 씁니다. 왜냐하면 등식의 반사성이 다양한 것도 있고, 안되는 것도 있어서 그렇습니다.
등차수열이 있을 때 등차수열 합차공식은
등차수열 {a_n}이 있을 때 등차수열의 합차공식은 ±ð ×(a_A) ± ɛ × (a_B) ±... ± ə × (a_Z) =(a_(±ð ×A ± ɛ × B ± ... ± ə × Z) ) +(±ð±ɛ±...±ə-1)a_0 단 (a_0)=(a_1)-d 이다.됩니다. 예를 들어
2a_5 - 3a_4 - 1a_14 = (a_(2×5 - 3×4 - 1×14) ) + (2-3-1 -1)a_0 = a_(-16) + (-2 -1)a_0 = a_(-16) -3a_0 = -2a_((-16)/(-2)) = -2a_8 이랑 같습니다
"그럼에도 불구하고 수열의 등식 표현 f(n)=f(1), f(2), f(3), ...의 양변에 g를 작용시킬 수 있으므로 등식의 양변에 유용한 g를 작용시켜 새로운 표현들을 얼마든지 얻어낼 수 있다." 이부분은 만약 그냥 등차수열 항과 상수항(g)의 합에서 공차가 ±0인 경우는 예를 들어 수열숫자번째 항끼리의 간격이 1씩이고 초항이 (a_1)이고
(a_1) = 5이고 d(공차)가 0이면 예를 들어 아무 항에다가 +2하면 (a_1) =7, (a_2) =7, (a_3) =7 이라는 새로운 표현이지만, 다시 자세히 보면 간단하게 만들 수 있는 공식을 만들거나, 표현을 더 응용할 때 걸림돌이 됩니다
등비수열에서는 저는 등차수열만큼 많이 알지 않지만 확실한건 ?/0 (나누기 분모 0 오류)이거때문에 등비수열자체에서 많은 결항이 발생하는 것 같습니다.
저는 개인적으로 수열을 추측할 때는 수열의 어느항 값 +-×÷식 => 상수 결과값 보다는 수열의 어느항 값 +-×÷식 => 공차d(등차수열) 또는 공비r(등비수열) 를 쓰지않은 수열항 숫자번째 와 수열 항 계수(예를 들어 -3a_4에서 계수는 -3)의 조합을 쓴 공식 값으로 저는 합니다