정수의 유일성 정리


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임의의 실수 x에 대하여

x-1<q≤x에서 정수 q는 유일하게 존재한다.

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(증명)

1) x가 정수인 경우

q=x로 유일하게 존재한다.


2) x가 정수가 아닌 경우

x-1<q<x


정수가 아닌 실수 x는 연속인 두 정수 사이에 놓을 수 있다.

이를테면 실수 3.7의 경우 3<3.7<4로 놓을 수 있다.


즉 유일하게 존재하는 적당한 정수 z에 대하여

z<x<z+1로 놓을 수 있다.



그러면 z-1<x-1<z이므로

z-1<x-1<(z , q)<x<z+1


즉 정수 z와 q는 같은 범위에 있고

그 범위에서

정수 q=z로 유일하게 존재한다.



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임의의 실수 x에 대하여

x-1≤q<x의 경우에도 정수 q는 유일하게 존재한다.

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세 변에 -1을 곱하면

-x<-q≤-x+1


세 변에 1을 빼면

-x-1<-q-1≤-x


-x=X로 놓으면

X-1<-q-1≤X


앞서 증명에 의해

정수 -q-1은 유일하게 존재하므로

정수 q도 유일하게 존재.



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임의의 실수 x에 대하여

x≤q<x+1의 경우에도 정수 q는 유일하게 존재한다.

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세변에 -1을 곱하면

-x-1<-q≤-x


-x=X로 놓으면

X-1<-q≤X


앞서 증명에 의해

정수 -q는 유일하게 존재하므로

정수 q 또한 유일하게 존재한다.


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임의의 실수 x에 대하여

x<q≤x+1의 경우에도 정수 q는 유일하게 존재한다.

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세 변에 -1을 곱하면

-x-1≤-q<-x


세 변에 1을 더하면

-x≤-q+1<-x+1


-x=X로 놓으면

X≤-q+1<X+1


앞서 증명에 의해

정수 -q+1은 유일하게 존재하므로

정수 q 또한 유일하게 존재한다.