실수의 나눗셈 정리

[신촌우왕(paste0706)]

정수의 유일성 정리

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정수의 유일성 정리: x-1<q≤x에서 정수 q는 유일하게 존재

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두 실수 a(≠0), b에 대하여

등식 b = aq+r과 부등식 0≤r<|a|를 

동시에 만족하는 정수 q는 유일하게 존재한다. 

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(증명)

1) a>0인 경우

|a|=a이므로

b=aq+r, 0≤r<a

r=b-aq를 부등식에 대입하면

0≤b-aq<a

-b≤-aq<-b+a

세 변을 -a로 나누어 q의 범위를 구하면

b/a-1<q≤b/a

정수의 유일성 정리에 의해

정수 q는 유일하게 존재한다.

2) a<0인 경우

|a|=-a이므로

b=aq+r, 0≤r<-a

r=b-aq를 부등식에 대입하면

0≤b-aq<-a

-b≤-aq<-b-a

세 변을 -a로 나누어 q의 범위를 구하면

b/a≤q<b/a+1

정수의 유일성 정리에 의해

정수 q는 유일하게 존재한다.

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b=aq+r, 0≤r<|a|를 동시에 만족하는

정수 q를 'b를 a로 나눈 몫'이라 하고

정수 q에 대하여 r=b-aq를 'b를 a로 나눈 나머지'라 한다.

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