너네 어떤 집합 X에 대해 멱집합 P(X)가 불 대수라는 거 앎?
합집합, 교집합, 여집합 연산을 부여하면 P(X)는 불 대수가 됨.
그리고 이미 명제논리 기초를 아는 사람은 불 대수의 성질들을 대략적으로 알 거임.
명제논리는 원소가 2개인 불 대수구조이기 때문임.
이산수학 혹은 명제논리 공부한 사람이면 당연히 알고 있는 저 표에서 불대수 공리 5개를 제외한 게 불 대수의 성질임.
그리고 원소가 2개 뿐인 불 대수 말고도 저 성질(공리를 제외한)이 원소 개수가 3 이상이거나 가산무한이거나 비가산무한인 불 대수에서도 성립함.
그러니까 우리는 명제논리만 살짝 공부했을 뿐인데 불 대수의 성질을 증명 없이 익힌 상태가 된 거고,
멱집합 P(X)가 불 대수니까 집합 연산의 성질까지 같이 공부한 셈이 되는 거지.
즉, 이산수학 가볍게 공부한 컴공생도 사실 멱집합의 구조를 이미 알고있다고 볼 수 있는 거임.
우리가 현대대수학에서 어떤 구체적인 예들에 대한 성질을 하나하나 공부하는 건 대수적 철학이 결여된 행위로 보잖아.
그거처럼 그냥 불 대수 공리를 통해 저 성질들을 일반적으로 증명하고,
P(X)와 합집합, 교집합, 여집합 연산이 불 대수의 5가지 공리를 만족함을 확인하면,
우리는 집합 연산의 기본 성질을 깔끔하게 익힌 상태가 되는 거임.
이제 이걸 보면, 불 대수에는 자연스러운 순서 구조가 존재하고 그 순서에 대해 [임의의 가산 부분 집합은 상한을 갖는다]가 성립하면 이걸 시그마 대수라고 한다는 걸 알 수 있음.
순서가 주어졌으니까 당연히 상한도 생각할 수 있는 거임.
그리고 저 자연스럽게 주어진 순서는 집합들의 관점에서는 ⊆라는 것도 확인할 수 있을 거임.
시그마 대수는 그 실해석학 책에 나오는 시그마 대수 맞음.
대신 내가 나중에 보려고 사 둔 실해석학 책에서는 일반적인 시그마 대수가 아니라 집합 위의 시그마 대수를 소개함.
이산수학의 불 대수와 실해석학의 집합 위의 시그마 대수가 연관이 있다는 개쩌는 사실을 발견해서 글로 써봤음.
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혹시그럼 일반적인 식마대스에 대해서도 측도론 할수 잇음?
ㄷㄷ 대단