수열 W(n)=4, 1, 10, 2, 16, 3, 22, 4, 28, 5, 34, 6, 40, 7, 46, 8, 52, 9, 58, 10, ...



위 수열은

홀수번째의 경우 초항 4, 공차 6인 등차수열이고,

짝수번째의 경우 초항 1, 공차 1인 등차수열이다.


W(2n-1)=4+6(n-1)=6n-2

W(2n)=1+1(n-1)=n


예를들어 W(3)=10이다.


양변에 W를 취하면

W(W(3))=W(10)=5이다.


양변에 W를 취하면

W(W(W(3)))=W(5)=16이다.


양변에 W를 취하면

W(W(W(W(3))))=W(16)=8이다.


양변에 W를 취하면

W(W(W(W(W(3)))))=W(8)=4이다.


양변에 W를 취하면

W(W(W(W(W(W(3))))))=W(4)=2이다.


양변에 W를 취하면

W(W(W(W(W(W(W(3)))))))=W(2)=1이다.


3으로 시작해 1로 끝난 콜라츠 수열: 

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1


수열 W(n)=4, 1, 10, 2, 16, 3, 22, 4, 28, 5, 34, 6, 40, 7, 46, 8, 52, 9, 58, 10, ...


(제3항으로 가보면 10이 있다.)

(제10항으로 가보면 5가 있다.)

(제5항으로 가보면 16이 있다.)

(제16항으로 가보면 8이 있다.)

(제8항으로 가보면 4가 있다.)

(제4항으로 가보면 2가 있다.)

(제2항으로 가보면 1이 있다.)


콜라츠 추측:

모든 자연수 n에 대하여

W를 계속 작용시키다보면 1에 도달한다.




참고:

W(2n-1)=6n-2, W(2n)=n 이므로

W(2n-1)=W(12n-4)=6n-2가 성립한다.


홀수번째 항

W(2n-1)=6n-2에서

2n-1=t로 놓으면 6n-2=3t+1

W(t)=3t+1


짝수번째 항

W(2n)=n에서

2n=s로 놓으면 n=s/2

W(s)=s/2


따라서

W(n)=(3n+1) [n]_2+n/2 [n-1]_2


[b]_a: b를 a로 나눈 나머지