물리학을 배우면서 두 가지 의문을 가지고 있었음

첫째, 스칼라량인 길이에는 '-6m' 같은 음수값이 없는데, 어째서 벡터량인 변위에는 'x방향의 -6m' 같은 음수값이 등장하는가?

둘째, 음전하 -10C을 절대값으로 전환하면 어째서 양전하 10C이 나오는가?



1.

물리학에서 벡터량을 정의할 때는 먼저 스칼라량을 정의하고 그 스칼라량에 방향을 부여하여 벡터량을 정의함

이때 먼저 정의된 스칼라량을 노름이나 절대값으로 부름

가장 기초적인 예로 스칼라량인 길이와 벡터량인 변위가 있음


그런데 이런 정의에는 문제가 있음

우리는 물리학에서 "x 방향의 -6m" 같은 표현을 유용하게 사용하고 있음

그러니까 "x 반대 방향의 6m"를 음수를 이용하여 표현하고 있음


그러나 최초 정의에 따르면 어떤 방향으로는 노름만 들어갈 수 있지, 즉, 영이나 양수인 값만 들어갈 수 있지, 음수는 들어갈 수 없음

고전적인 길이는 방향을 고려하지 않으므로 음수라는 값을 포함하지 않음

그러므로 'x 반대 방향의 6m'를 표현할 때, 벡터량 x(6m)에 음수를 적용해서 -x(6m)로 표현할 수는 있지만

스칼라량 6m에 음수를 적용해서 x(-6m)로 표현할 수는 없음


그러나 우리가 -m라는 표현을 잘 쓰고 있다면, 이때 m는 방향을 의미로 포함하고 있다는 뜻임

m가 '특정 방향'을 의미로 포함하지는 않지만, 특정 방향이 주어졌을 때 그 방향으로 얼마만큼 나아가는지 수행함

따라서 -6m와 같은 음수를 표현할 수 있음

이것은 고전적인 길이 개념과는 분명히 다른 개념임



2.

수학자들은 벡터 개념을 확장하면서 스칼라도 1차원 벡터로 본다고 정의함

그러니까 벡터의 정의가 무엇이냐면, 어떤 수체계를 기준으로 설정하고 그 기준이 된 수체계를 이용해서 선형결합을 만족시키는 수체계를 만든다면,

기준이 된 수체계를 스칼라라고 부르고 확장된 수체계를 벡터라고 부름

따라서 시간, 질량, 전하량, 전류 같은 스칼라량은 모두 1차원 벡터로 볼 수 있음


우리가 3차원 벡터를 다룰 때는 먼저 3개의 축을 설정해야 하고, 그 다음으로 각 축에 대해서 양 방향 중 어느쪽을 기준으로 삼을지 설정해야 함

어떤 벡터를 선형분해하는 작업은 3개 축을 어떻게 설정하는지에 영향을 받고, 각 축의 방향을 어떻게 설정하는지에는 영향을 받지 않음
각 축의 방향을 어떻게 설정하는지는 선형분해한 벡터를 표현하는 데만 영향을 줌


시간, 질량, 전하량, 전류 같은 스칼라량, 즉 1차원 벡터도 1개 축에 대해서 방향 설정 작업이 필요한데

일부 스칼라량은 미래, 양질량, 양전하 등을 표준으로 삼았고, 전류 같은 일부 스칼라량은 어느 방향을 기준으로 삼을지 매번 직접 정해야 함


시간, 질량, 전하량이 포함된 각종 공식들은 미래, 양질량, 양전하를 표준으로 삼아서 부호를 정하고 있는데

sec, kg, C 같은 단위 자체는 특정 방향을 기준으로 삼고 있는 게 아니고

사실은 미래(30sec), 양질량(10kg), 양전하(10C)처럼 방향 설정이 따로 존재하고

sec, kg, C가 그 표준 방향에 대해서 얼마 나아가는지 수행할 뿐인 거임


따라서 "음전하 -10C의 절대값은 10C이라"는 표현을 이해할 수 있음

(일반적으로 전하량만 이야기하면서 절대값 연산을 찾는 경우는 없지만, 

전하량이 포함된 힘의 공식에서 절대값 연산을 할 때 전하량에 절대값 연산이 이뤄짐)