N을 자연수 전체의 집합이라고 하자. 그리고 N x N = {(a, b)|a, b∈N}이라고 하면 N x N의 기수는 aleph-0의 제곱이 되겠지. 왜냐면 N의 기수가 aleph-0이고, 그거 두 개를 곱한 거니까. 이 때 (m, n) -> (2n-1)*2^(m-1)은 1대1 대응이 된다. 따라서 1대1 대응이 존재한다 <-> 두 집합의 기수가 같다는 거니까 aleph-0 = (aleph-0)^2이 성립한다. 그리고 2의 aleph-0승에 대해서 약간만 언급할께(칸토어의 대각법은 언급하지 않겠어) 어떠한 집합의 기수가 n이면 그 멱집합(power set)의 기수는 2^n이 된다. (멱집합, 또는 power set의 의미 : 그 집합의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합) 따라서 2의 aleph-0 제곱을 기수로 가지는 집합은 자연수의 power set이겠지. 그런데 대수적 증명으로 어떠한 집합에서 그 power set으로 가는 일대일 대응이 없음을 증명할 수 있어. 이 증명은 옛날에 적어뒀는데 날렸다 -_-; 미안하다. 더 자세히 알고 싶으면 칸토어의 대각법 검색해라. 참고로 모르는게 아니라 적기 귀찮은거다. 꽤 길어서.. aleph-0에서 2의 aleph-0으로만 가는것만 하려면 칸토어의 대각법만으로도 가능하고 임의의 무한기수 a에서 2의 a승으로 가는 것도 하려면 약간 더 귀찮은 방법을 써야한다. Fraleigh 대수책 연습문제 챕터0에 19번에 있어(보진 않았지만 내 기억이 맞을거야)