미분과 적분의 원리

[d(211.201)]

형들

미분과 적분의 원리가 뭐야?

어째서 원시함수를 미분하면 기울기가 나오고 적분하면 넓이가 나오는거지?

수능공부하다가 갑자기 이 생각이 들어서 질문해봄

[더-리얼(risingshot)]

나도 올해 calculus 배워서 정확한 설명은 못해주겠는데. Law of gravity를 설명해낸게 바로 Isaac Newton인건 다들 아는 사실이야. 이 뉴턴이 발명해 낸게 Calculus 즉, 미분적분학 또는 해석학 이라고도 불려 좀더 나아가서 물리에서

[더-리얼(risingshot)]

일정 물체가 100m를 10초만에 달렸어. 그렇다면 Average Velocity, 평균속력은 10m/s가 되겠지만 과연 달리는 내내 10m/s의 속력을 냈을까? 분명 평균은 10미터가 맞겠지만 달리는 곳마다 다른 가속이 붙었을꺼야

[더-리얼(risingshot)]

자 이제 이 시간 초 마다 다른 가속을 이해하기 위해. 달린 속력을 함수로 나타내어 그래프로 나타내 보자. 여기서 미분이란 개념이 도입 된거야. 미분이란 기울기의 fancy word 일 뿐이지만

[더-리얼(risingshot)]

여기서 자세한 설명을 해줄께. 우리가 기울기를 구할때 (x2-x1)/(y2-y1)이런식으로 구하잖아? 그런데 저 식을 그래프로 풀어서 설명하면 x2 = x1 + dx가 되겠지. 말로 설명하려니깐

[더-리얼(risingshot)]

좀 어려운데 그래프로 보면 진짜 간단해. 위에서 말한 dx는 x1과x2사이의 값이야. 그니깐 x1과 x1과x2사이의 값을 더하면 자연스레 x2가 되겠지? 자 이제 좀더 나아가서. 저 식을 이용해서 각 값마다 다른 기울기가 나온다는 사실을 알게 될꺼야 물론 이차함수 이상에서 말이야

[더-리얼(risingshot)]

미분의 기본식이 뭐지? 저 윗 내용을 토대로 lim dx->0 (x1+dx)-(x1)/dx 가 되는거지 x값의 변화량이 극히 적어지면 한 값에 대한 기울기 값이 나오게 되는거야. Integral은 아직 배우지 않아서 모르겠지만 미분과는 전혀 다른 개념이야 매우 밀접한 관계를 갖고있을 뿐이지

[더-리얼(risingshot)]

아 내가 중간에 글 거꾸로 써서미안하네 (x2-x1)/(y2-y1) 이 아니라 (y2-y1)/(x2-x1)을 말하는거야.....

[쭈쭈바(111.118)]

사실 적분과 미분은 처음에는 수학자들도 전혀 관련 없는 문제인줄 알았어... 미분(도함수)은 그래프의 접선의 기울기를 구하는 문제에서부터 유래된거고, 적분(무한급수)은 넓이를 구하는 문제로부터 유래된거니까. 서로가 역의 관계라는건 상상도 못하고 있었지. 그런데 뉴턴의 스승인 아이작 배로우(Issac Barrow, 1630~1677)라는 수학자가 뛰어난 통찰력으로 이 문제들이 서로 밀접한 관련이 있다는 것을 제시했어.

[쭈쭈바(111.118)]

그리고 뉴턴과 라이프니츠는 이것을 체계화시켜서 미분적분학의 기본정리(The Fundamental Theorem of Calculus)를 정립하지. 이것은 도함수와 적분 사이에 명백한 역관계가 있음을 보여주고 있어. 미분적분학의 기본정리는 굉장히 짧지만 큰 내용을 함축하고 있어. 증명이 한페이지도 안되는 말그대로 \'기본\' 정리이니 한번 찾아보도록 해.

[ㅇ(211.201)]

리얼형 x2-x1/y2-y1 이 기울기인건 아는데 식을 그래프로 풀어서 x2=x1+dx 가되는게 뭐야? dx를 x2-x1 로 정의해둔다는소리로는 알아듣겠는데 모르겟네 x1과 x2 사이의값+x1 해야 x2되는거아냐?

[ㅇ(211.201)]

형들 고등수학 범위에서 갈켜줘 dx를 0으로 보내는게 기울기를 0으로 보내는거야?

[ㅇ(211.201)]

쭈쭈바형 미분적분학의 기본정리는 고등학교 책에서 안나오는거같은데

[ㅇ(211.201)]

난 미분할때 x² 의 지수 2를 밑으로 내리고 1을 뺀다는거를 어떻게 유도하게 됬는지 또 적분할때 지수+1 그과정같은게 궁금해 형들

[ㅇ(211.201)]

그냥 도함수의 정의에따라 미분값을 구했는데 그게 우연하게 지수를 내리고 지수-1 하는것과 똑같아서 공식을 이렇게 한건가?

[ㅇ(211.201)]

적분도 마찬가지로 구분구적법에 의해서 그냥 편법식으로 만들어진 공식이야?

[기리닌(hanrob)]

ㅇ (x+h)^2-x^2/h 의 극한 생각하믄 되잖아요..

[기리닌(hanrob)]

적분은 원래 좀 과격하게 말하면 구분구적법으로 그 극한값을 구하면 되는거였는데 그 함수의 미분의 역연산의 결과를 구해내면 단숨에 되었다는게 어마무지 좋은 내용인거죠

[기리닌(hanrob)]

원체 그 구분구적법(리만합)을 구해내기가 꽤 힘든데 지금까지는 성질좋은 함수들로 구해낼 수 있었기 때문에 편법이니 하는 말이 나오는 거예요. 함수에 따라서 미분의 역연산도 잘 구해지는게 아니에요 흐흐

[미세스신(sks2238)]

ㅄ들 원리를 물어보잖아 그럼 극한이라고 대답해야지

[수갤(jdg1031)]

미분과 적분은 극한으로 정의. 극한은 함수의 정의가 완벽해야하고 함수는 집합으로 정의하지. 결론: 뭐든지 기초가 제일중요