◈ 1 = 0.999... 와 0.999... = 1 에서의 자명한 개념에 대한 이해와 정의
1 = 0.999... 라고 할때, 1은 0.999...와 같지 않음이 자명하므로 이것은 \"1을 순환소수로 나타내면 0.999...이다.\" 라고 하는 것을 나타낸 것이라고 본다는 암묵적인 약속이며,
0.999... = 1 라고 할때, 0.999...는 1와 같지 않음이 자명하므로 이것은 \"0.999...의 극한값은 1이다.\" 라고 하는 것을 나타낸 것이라고 본다는 암묵적인 약속이다.
※ 자못 혼동하기 쉬운 위 내용은 그동안, 자명하게 여겨서 어떤 정의나 설명도 필요 없이 이미 배운 내용만을 가지고 미루어 짐작이 가능했어야만 했다.그렇지 않고서는 수학에서 비중을 두지 않는 주제이기 때문에 어디에서도 제대로 된 정의나 설명을 찾아보기가 힘들었을 뿐더러 이 부분에 대해서는 최전선에서 마땅히 감당하여야 할 교수법마저도 기대하기 힘든 실정이였다.(참조. http://navercast.naver.com/science/math/22) 또한 그 것을 이해하는 것은 기초가 잘 닦여져 있지 못하고서는 결코 녹록하지 않은 대다 상당히 혼선을 일으키기 쉬운 개념이라 일부에서는 서로 개념을 잘 못 잡은 사람들끼리 설전하는 사태가 이미 오래전부터 끊이질 않고 있기도 하다.이제 본 내용을 여기에 밝혀 둠으로써 그 동안의 혼선을 종식 시켜줄 새로운 교수법으로 쓰여 질 수 있기를 바라는 바이다. 그리고 첨부사진으로 올린 내용은 본 내용의 개념이 없어 올바른 내용은 아니지만 그동안의 혼선이 대강 어떠 하였는지 짐작 할 수 있는 자료로 참조용으로만 보아 주시기를 바라겠다.
저도 사실 위의 개념을 제대로 못 잡고 있었는데 이제 끝을 보고 갑니다. 맨 아래가 본 내용입니다.
님 문과출신이죠?
세상에게서 들어야 할 욕을 루루님을 통해서 듣게 되네요^^ 근데 자살은 비추죠.. 그리고 저 문과로 기운 이과생입니다.
너님 화이팅
수학을 전공하실 분이 아니시라면 그냥 자신의 신념을 지키는게 좋겠습니다. 다만 다른사람에게 강요하지는 마시길.
ㅇㅇ 너님 화이팅
당부말씀 잘 새기겠습니다. 그리고 정말로 신기합니다. 화이팅 받으니깐 기운이 나네요.
무한에서는 상식을 깨는 일들이 많다고 하는데 이것도 그중 하나져.극한같은 것도 상식이 깨지는걸 막기 위해서 도입된 걸로 알아요.이런식으로 하게 되면 직사각형의 넓이조차 구할 수 없을 거 같은데여
0.0000....1이라고 하지만 이런 수가 존재하지 않는다는 건 분명하지 않습니까? 끝이 무한이 길어지는 수라고 치면, 이 수는 0에 수렴해서 1=0.999...+0.000...1이라고 해도 저런 단 1자리의 수가 동적인 개념으로 보면 0이고, 정적인 개념으로 보면 무한소수라는 것에 어긋나지 않나요? 에효 그냥 제 생각입니다.
위 첨부사진에 올려드린 내용에서 나눗셈 과정을 보시면 0.000...1은 일반적인 정점으로의 수가 아니라 딱 떨어지지 않는 하나의 값으로 나옴을 알 수 있습니다. 정점이 되는 수로써가 아니라는 님의 말씀이 맞습니다. 그리고 동적인 개념으로 0 이라는게 아니라 0으로 보기로 하자는 것이 되겠습니다. 무한소수를 정적인 개념으로 본다는 것은 그 한 단편을 본다는 말입니다. 현실 속 장면을 사진으로 찍을 때 그 찍힌 사진처럼요. 그 사진을 현실이라 부르지 않는 것처럼 무한소수라는 것에 어긋난다는 님의 생각이 확실히 맞습니다. 아마도 위 내용 중 계산상의 수단으로 쓴 편법을 보고 말씀하신 듯한데, 수학에서 계산 값을 구할 때 그 값에 문제가 없을 경우에 편의상 쓰는 편법과 같은 경우라 생각하시면 됩니다. 위 첨부사진
속 내용을 다시 한번 살펴보시면 그 값에는 문제가 없음을 밝히고 있음을 알 수 있습니다. 단지 무한 개념의 셈을 눈으로 보아 알기 쉽게 하기 위하여 쓴 편법 정도로 생각하시면 됩니다. 수학 계산 할 때 치환, 대입, 매계변수 등을 이용하는 것처럼 말이죠. 덧 붙여 한 예로 순환소수를 분수로 나타내는 방법에 위에서도 밝힌바 계산상의 오류가 있지만 순환소수를 분수로 나타내는 그 값으로는 전혀 문제될 것이 없다는 것을 알 수 있는 것 처럼요. 머 오류에 오류로 그것을 바로 잡은 재미있는 케이로 볼 수 있겠죠. 마지막으로 부연하여 0.000...1와 같이 계속 나머지가 남는 상태를 무한히 작아진다고 하여 무시하고 딱 0이라 단정한다면 무한한 우주 속의 우리 자신을 무시하고 인정하지 않는 다는 말과 같습니다. 더
욱이 눈에 보이지는 않지만 분명히 존재함을 알 수 있는 x선과 같은 것도 존재하지 않는 것이라 단정하는 것과 같습니다.
그점이 수라 인정하지 않는 점입니다. 관념상의 수이죠. 끝에 항상 1이 있는 무한.
상상하는 겁니다. 무한인데 항상 끝에 1이 달려 진행한다고.. 위에 첨부사진 나눗셈 보시면 좀 더 이해하기 수월 하실듯..
그니까 매의눈님이 생각하는 무한대는 수학적으로 엄밀하게 정의해둔 무한대랑은 전혀 다른겁니다. 서로 논의대상이 다르니 이쯤하죠.
박올린님 무한대를 수학적으로 엄밀하게 어떻게 정의해둔 것인지 알고 싶습니다?! 저 그거는 정말로 몰라요.
시험끝나고 눈팅하러왔는데 진짜 아직까지도!!! 이런글이 보이니 공지가이로써 마음이 아픕니다그려 으흐흐 -ㅂㅠㅋㅋ
근데 오랜만에 간섭을 하자면, 매의눈님은 0.00...001을 실수로 넣고싶은 것인가요?
저도 답 회피.. 위 내용 맨 아래 초록색글 보시면 아주 그냥 자명하게 아실거에요^^
-_-? 그러니까 0.999...≠1이니까(뭐 나타내는것으로 본다 어쩌고는 무슨소린지 모르겠는데 제가 쓴 =는 집합론적으로 \'같다\'의 기호로 보고) 1-0.999...=0.00..001 ≠0 라는게 주장 아닌가요? 0.999...나 0.00..001을 각각 1과 0이랑 다른 실수로 생각하고싶으신건지 묻는건데;;
일단 E-?님 답변 드리겠습니다. 0.000...1는 수학에서의 정의가 없습니다. 그런데 0.999...에 대하여는 순환소수임을 알수 있습니다. 순환소수의 정의에 따라 분명히 속하니까요. 그리고 위의 초록색글의 자명하다고 아무도 알려주지 않은 약속개념에 의하여 수로 인정하고 있습니다. 한 정점의 수 1을 가리킨다고요.
그러니까 0.99..99 = 1(여기서 =는 \'원래는 안같은데 그냥 그걸로 본다\'는식의 말 말고 레알 \'같다\'는 뜻) 인가요 아닌가요?
같다는게 확실히, 100%, 레알 같다는 뜻 맞습니다.
같지않음이 자명하다라고 하셔서 사실은 다른걸로 보시는줄알았네요 ㅎㅎ; 수고하세용~
답변이 좀 성급했을까..? Ε-Δ님께, 그런데 님께서 같다고 가리키신 그 것이 제가 기리킨 그 것과 같은게 맞겠죠?.. 그냥 그렇게 생각하는게 서로에게 속 편한 거겠죠...
헉.. Dragon_RaVE님 고맙습니다. 저도 엄청 좀 헷갈렸네요. 님께서 지적해 주셔서 바로 잡을 수 있었습니다. 이거 무한소수의 정의에 속하네요. 0.000...1을 눈으로 보이는 그대로만 보시면 당연히 유한소수의 정의에 따른다고 착각하실 수가 있습니다. 그런데 0.000...1을 절대 그렇게 보시면 안되요. 진행하는 상태 그대로를 상상해야 합니다. 이를테면 0.1→0.01→0.001→0.0001→... 과 같이 보셔야 해요. 이렇게 보시면 1이 끝에 달랑 한 번 나온게 아니라 무한으로 계속되어 나오고 있음을 알 수 있어요. 따라서 결국 무한소수네요.
그럼 0.000...1을 수체계에 넣을 수도 있는 걸까요?? 0.000...1의 극한값은 0이 맞지만 0을 어떻게 순환소수로 나타내어서 0.000...1이라고 하지? 잘하면 이거 우리가 수학의 새로운 분야을 뚫어 볼 수도 있지 않을 까요? 저 혼자만의 망상인가... 괜히 수학계의 떡밥이라 불리우는 이 문제에 손댓다가 헤어나오질 못하겠네요///
헉.. 김빠짐..다시 꼼꼼히 따져보니 일반적인 유한소수, 무한소수의 정의로는 0.000...1을 어디에도 명확히 소속시킬 수가 없겠네요. 결국 수학에서 정의된 바가 없다는게 맞을 것 같습니다. 어떠신지요?
저도 일단 0.000...1을 무한소수라고 정의하지 않았습니다. 아까 헷갈려 했던 그 시간을 지우고 싶네요ㅜㅜ(위 덧글:헉.. 김빠짐..다시 꼼꼼히 따져보니 일반적인 유한소수, 무한소수의 정의로는 0.000...1을 어디에도 명확히 소속시킬 수가 없겠네요. 결국 수학에서 정의된 바가 없다는게 맞을 것 같습니다.) 이제 자야 될 것같아요. 다음에 계속해요. 일단은 위에 올린 첨부사진내용 부터 좀 장황하더라도 좀 더 잘 살펴봐 주시면 고맙겠습니다.
ㅋㅋㅋㅋ 재밌네.
아오썅 극한이 뭔지도모르는애가 극한이니뭐니 이런말하고앉았으니까 존나같잖네 0.999...의 극한값이 어딧냐. 그냥 0.999...라고 부르든가 0.9 , 0.99, 0.999, 0.9999, ,,,,의 수열의 극한값이라고 불러야지
그걸 십진법전개로 대신 한다고 생각하면 안될까요...아무튼 전이제 모르겠습니다. 제 발등 불부터 끄러 갑니다. 안녕히계세요...