[예시답안]
[설명]
안좋은 문제는 아니지만 약간 모의논술이고 하다보니 만들기 귀찮은게 아니었을까.. 싶긴 함
일단 이 문제를 보고 크게 2가지 생각이 들수 있음
1. 자연수 n에 대한 명제 증명? -> 혹시 수학적 귀납법?
2. 부등식이니까 함수화 해서 미분을 이용해 증명?
일단 1을 먼저 해볼수 있는데 문제는 좌변이 고정값(상수)임
즉, 우변이 n이 커질수록 만약 계속 커진다면 모르겠는데, 작아진다면 수학적 귀납법으로 설명이 안되게 됨
우선 우변의 극한값이 e^2임은 쉽게 알수 있고 n=1이면 2^3, n=2이면 (3/2)^5 으로 8보다 작음
-> 따라서 우변은 점점 작아지는 구조이므로 수학적 귀납법으로 작아지는거 자체는 증명할수 있다 쳐도 결국 하한이 e^2 이상임을 보이는 것에는 무용지물이므로 수귀로 접근이 힘듬을 알수 있음
따라서 예시답안처럼 그냥 우변-좌변 해서 함수화 한뒤 미분을 통해 보여야 함 (혹은 이 문제는 우변만 변하므로 f=우변 으로 해서)
이 문제에선 지수에 변수가 있으므로 ln을 씌워서 로그함수를 미분하는 것으로 바꿔서 풀음
문제는 보통 문제들은 미분하면 극소가 구해지고 이를통해 최소를 구해서 그 값이 0 이상이다 하는 방향으로 흘러가는데 f'을 구하면 식 형태가 0이 되거나 혹은 부호를 알수 있거나 하지를 못한다는 것
결국 이에 대한 정보를 얻기 위해 f''을 시도해 보고, 이는 간단하게 >0 임이 나오므로 f'은 증가함수이며, 우리가 원하는 것은 f'의 부호이므로 f'의 극한값이 0임을 이용해 f'이 0 이하임을 얻게 됨
-> 이 부분이 엄밀한 설명이 필요하다고 생각될수도 있겠지만
(참고: https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=mathlogic&no=105&page=2)
이 정도는 직관적인 용인이 되는거 같음
즉, f가 감소함이 보여졌고, f의 극한값이 2이므로 방금과 같은 원리에 의해 원래 부등식이 증명이 되게 됨
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