약간 암흑속을 더듬더듬거리면서 길찾아가는 느낌임

수능도 보면 결국 조건들을 조합하는 퍼즐게임이긴 하지만 그래도 나름대로 근거가 보이잖아?

근데 얘는 그런게 거의 안보임. 걍 무지성으로 알고있는 온갖거 동원해보면서 이리저리 찔러보다가 먹히면 좋고 아님 말고 수준임

물론 이것도 유형이 어느정도 있는건 맞고(그게 수능 논술하고 비교도 안될뿐이지) 그래서 정말 고도로 훈련되거나 금머갈이면 뭐 다르게 느낄순있음

나는 중등부 2차 금, 고등부때는 2차 동 받고 끝이라서 고수들 생각은 잘 모름. 걔네는 내가 몇시간 걸리면서 삽질하는거 10분만에 풀이방향 알아내고 그런애들이라..


예를한번 들어볼께




2021 imo 1번 문제임. 보통 6문제중 1번이 가장쉬운 문제임

문제 이해 자체는 간단해. n+1개 자연수들을 2개 집단으로 분할했을때 어떤 한 집단에서는 a+b=k^2이 되는 경우가 있다는걸 보이라는거지

근데 어떻게 풀어야할지 감이 전혀 안올거임




이 문제의 핵심 아이디어는 뜬금없지만 비둘기집의 원리임 (보통 조합론 문제에서 쓰이긴 하지만)

비둘기집의 원리란 p개의 비둘기집에 q마리의 비둘기가 들어간다면 어떤 한 비둘기집에는 적어도 [(q-1)/p]+1마리의 비둘기가 들어가게 된다는 내용임

증명은 쉬움. 귀류법을 쓰면 그런 집이 하나도 없다? 그러면 많아봤자 한 집당 [(q-1)/p] 마리만 들어가는데 [(q-1)/p]*p <q/p * p = q가 되니까 모순이지

그냥 한마리씩 비둘기집에 순차적으로 넣는다고 생각하면 쉽게 이해할수 있음


만약 3개의 n이상 2n이하 정수 a b c가 존재해서, 이들중 어떤 두 수를 골라 합치면 완전제곱수가 된다고 하면

비둘기집 원리에 의해서 이들 중 적어도 2개는 같은 카드더미에 들어가고 그 두 수를 고르면 문제 조건을 만족하지

따라서 우리는 그런 a b c가 존재함을 보이면 충분함


위 풀이처럼 a, b, c를 p, q, r에 대한 식으로 표현할수 있고 우리는 몇개 있냐가 아니라 '하나'라도 있으면 되잖아?

그래서 적당히 괜찮은 수를 잡는거임

위 풀이에선 적당히 정수 e에 대해 p=2e-1, q=2e, r=2e+1로 잡아서 a=2e^2+1, b=2e(e-2), c=2e(e+2) 이면 되게 설정함


그러면 이제 문제는, b가 가장 작고 c가 가장 크니까

n이 100이상일때 2e(e-2)이 n이상이고 2e(e+2)가 2n이하인 정수 e가 항상 존재함을 증명하는 문제로 바뀌게 됨




그러면 결국 e에 대한 이차부등식 문제로 바뀌고, e는 루트 1+n -1이상, 루트 1+n/2 +1 이하가 되니까 상한과 하한의 차가 1 이상이기만 하면

그 사이에 정수가 적어도 하나가 존재하는건 자명하니까 문제가 끝나게 되지

이 n에 대한 부등식 역시 루트 해제해서 풀어내면 n이 107이상일때 증명되고(아쉽게도 딱 100일땐 안나옴), 따라서 n이 100이상 106 이하일땐 직접 계산을 통해 그 사이에 정수가 있는걸 보여주면 되는거임


사실 문제풀이에 필요한 내용 자체는 고1 수준에 불과한 문제지만 아예 수능 이런거하곤 느낌이 다르지

문제를 봤을때 방향성을 잡는게 일반인은 거의 불가하다 봐야함

그나마 이건 쉬운거고 3, 6번정도 되면 좀 어질어질함. 내가 예시든 1번은 딱히 큰 지식이 없어도 되는거라 가져온거지만 대부분 문제들은 별 이상한 lemma 들이대서 풀어야 하거든


그래서 이런거에 훈련된애들은 수능수준 문제들은 귀여운 수준이니 어려운문제 적응 자체엔 확실히 유리함

그런데 원하는게 수능하곤 상당히 동떨어져 있고, 뭣보다 미적분은 kmo 시험범위가 아니라서 수능 논술 메인이 미적분인데 그 부분에선 별로 이득볼것도 없음 ㅋㅋ

나도 다른 고등과정은 초딩때 다 나갔어도 미적분은 고1 겨울때 처음으로 들었고