연세대 통계학입문이란 과목의 퀴즈임.
근데 내 머리로는 도저히 답이 납득이 가질 않음..도와주삼.
[문제] 어떤 역에서 부산행 새마을호는 15분, 부산행 KTX는 20분 마다 출발한다. 어떤 사람이 역에 도착하는 시간을 확률변수 X라 하면 X는 균일분포를 따른다. 역에 도착했을때 먼저 출발하는 기차를 탑승한다. KTX를 탈 확률을 구하시오.(단, 동시에 두 열차가 출발하면 KTX를 탑승한다)
공개된 답안)
이해 안되는 부분 :
1. 문제에서는 첫 출발 시간이 동일할거라는 얘기를 안해줬는데 저렇게 풀어도 됨?
2. 새마을호는 15분, KTX는 20분마다 도착하면, 직관적으로도 KTX탈 확률이 더 낮아야하는거 아님?
- dc official App
KTX=K, 새마을호=S라 하자1. 한시간은 60분임 -> S는 15분에 하나 -> 1시간에 4개 옴-> K는 20분에 하나 -> 1시간에 3개 옴 2. 적당한 시간 50<t<_60 분을 생각하자(60분에 등호를 포함시키고 0분을 생각하지 않겠음)그러면 그동안 K는 3회 탐그러면 그동안 S는 2회 탐 그런데 t=60에서, 15와 20의 공배수이므로 K를 선택함3. 즉, 한 시간동안 새마을호 KTX 타는 횟수가 같음4. 이런 이유는 "시간당 N회"이기 때문임
어차피 너가 역에 도달하는건 균등분포기때문에 그것 자체로 K랑S가 시간간격 0일때.. 1일때.. .. 60일때 를 연속적으로 적분한 것으로 생각한거라 첫 시작을 잡아도 되는거임
더 의문이 생긴다면 출발시각 차이를 새로운 변수로 생각해보면 되는데 그 차이를 D라고 하자 새마을호 출발시간을 S(t), KTX에서는 K(t)라고 하자. 그러면 초기시간 t=0일때 S(0), K(0)이라고 하고 정수 m,n 에 대해 S(t) = 15m + S(0) K(t) = 20n + K(0) 이고, 이들이 동시에 출발하는 시간은 T=mod(15,20)임 -> T는 60배수 그리고 한 시간을 60분이라 하면 너의 도착시간을 X라고 할 때
X ~ U(0,60) -> x in X에 대해 f(x)=1/60임이 때 초기시간 차이를 K(0) - S(0) = T라 하자-> 평행이동 했으니 S(t) = 15mK(t) = 20n + T 임그런데 구간 [0,60]에서 K가 먼저 출발할때는[0,15]U[20,30]U[40,45] 이고 이 때 f(x) 적분하면 (15+10+5)/60 = 30/60 = 0.5임즉, T=mod(15,20)이 어떻게 변하든 순서만 달라지고 정작 확률 계산에 필요한 "구간의 길이"는 항상 동일하게 분할됨.=> 해당 분포에서 출발시간차는 상수임
내가 빡통이라 솔직히 이해못했음 ㅈㅅ.... 한개만 직관적인거로 물어보겠음.. Q. 처음 열차 출발 시간 차이가 3분이라 가정하자. 그러면 KTX를 타게 되는 시간의 구간이 [0,3] , [15,23], [30,43] 이 되면서 확률이 24/60 되는게 아니라는 말임? - dc App
그리고 직관에 대해 좀 더 말하자면 너가 구하려는건 어떤 열차를 탈 확률일 뿐이지 빈도는 큰 상관이 없다는거임. 승객 도착시간이 균등분포할때 "먼저출발선택"이라는 가정과 60에 잘 아다리 맞는 주기여서 그런거 ㅇㅇ 예시로 (10,15), (12,18), (10,20) 생각해봐라
더 더 직관에 대해 말하자면 매우 사람이 많은 마트에서는 셀프계산대 줄이 빠지는거나 점원 앞에 줄이 빠지는거나, 결국 너 순서가 되면 절반의 확률로 셀프계산대로 가게됨