앞선글에서 소개한 인하대문제 설명
일단 1-1은 상당히 여러가지 방법으로 보일수 있는데 기본적으로 짝수 증명은 2*정수 꼴로 나올수 있는지 확인이 우선이다
그래서 너가 2nCn을 2로 나눠보면 그냥 2n-1Cn-1 이 나오고 이건 기본적으로 '가짓수' 니까 정수인건 자명
그외 이항정리 풀이도 있음
어렵진 않은 문제지만 못풀었을수도 있음 하지만 여기서 아 뒤에건 더 어렵겠지? 해서 포기한다면 뒤의 공짜문제들을 놓치게됨
애초에 뒤 문제를 보면 알겠지만 1-1 못풀어도 푸는데 전혀 영향이 없음
1-2부터가 본게임인데 크게 2가지로 문제가 나뉨
- (n+b)/b를 기약분수로 만들면 분모 분자는 모두 홀수임을 보여라
- 그리고 이를 이용해 f(2^k)는 4의 배수가 아님을 보여라
첫번째 질문이 뇌절임 아마 여기서 대부분 이게뭐니 하고 뒤에건 보지도 않고 던졌을것
정수론에선 자주 쓰이는 아이디어이긴 하지만 수능에선 사실상 볼일없는 아이디어니까..
1-2 첫번째 질문의 해결의 핵심은 모든 자연수는 2^i * j (i는 음아닌 정수, j는 홀수) 꼴로 나타낼수 있음을 이용하는 것임
좀만 생각해보면 당연한걸 알수있을 것임(짝수면 계속 2로 나눠가다 보면 언젠간 홀수가 되니까)
따라서 n+b/b = (2^k + 2^i * j) / 2^i * j = 2^(k-i) + j / j 가 되고 j는 홀수이고 k-i는 자연수니까(i<k)
- 이게 기약분수이면 둘다 홀수이므로 끝
- 기약분수가 아니더라도 일단 둘다 홀수인데 약분을 해도 역시 계속 홀수여야 하므로 역시 끝
* 참고로 2^(k-i) + j / j는 기약분수가 맞긴 함
개인적으로 출제교수가 '모든 자연수는 2^i * j (i는 음아닌 정수, j는 홀수) 꼴로 나타낼수 있다' 를 제시문에서 줬어야 했다고 생각함
수능에선 정수론을 사실상 안다루는데..
근데 만약 이걸 못풀었다 해도 두번째 질문은 해결이 가능함
그래서 소문제들을 잘 관찰하라고 한 것임
어차피 앞 문제는 증명 문제이고 따라서 결론이 문제에 나와있음
따라서 너는 이걸 잘 이용만 해서 f(2^k)가 4의 배수가 아님을 보이면 끝임
여기서 굳이 f(n)을 맨 위 문제에서 (n+1)/1 * (n+2)/2 * ... * 2n/n 꼴로 줬는지 이유가 보일거임
나름의 출제자의 배려라고 할수 있음
(n+b)/b가 전부 홀수/홀수 꼴이니까 f(2^k)는 '홀수/홀수' 꼴들의 곱에다가 맨 마지막에 2 (=2n/n) 가 곱해진 꼴이 됨
그러면 얘는 결국 홀수/홀수 * 2 의 꼴이 되는데 절대 4의 배수가 될수 없음 (홀수/홀수에서 2가 절대 나올수 없으니)
솔직히 이정도는 너가 중1때 배우는 정수론만 알아도 충분히 이해할수 있는 내용이잖아
괜히 앞에거에서 쫄고 이걸 안풀면 아쉽지
1-3도 크게 2개의 질문임
- f(n)/f(n-1)을 구하고
- 그리고 이를 이용해 f(2^15 - 1)이 2^m의 배수가 되도록하는 m의 최댓값을 구하라
첫번째 질문이 완전 꽁 문제임
그냥 f(n)=2nCn 넣어서 정리만 해주면 끝
그리고 두번째 질문도 앞에 정보들을 종합해서 머리 잘만 굴려보면 나옴
f(n)/f(n-1) 하고 f(2^15 - 1)이 무슨 관계겠음? 2^15-1 하고 2^15지
근데 f(2^15)는 1-2에서 4의 배수가 아니라네? 근데 1-1에서 짝수이기는 하네? 그럼 2가 하나밖에 없는 2*홀수 꼴이 되는거고 여기서 게임이 끝나게 됨
풀이는 공식풀이로 대체
결국 2^15 * 홀수/홀수 꼴이 되니까 답이 15가 됨
* 뒤에 홀수/홀수가 자연수가 아니면 어떻게 되느냐? 이렇게 생각할수도 있는데 사실 답에는 상관없기도 하고, 자연수가 아니면 f가 자연수인 것에 위배됨. 그래서 자연수일 수밖에 없음
즉, 1-1하고 1-2 첫번째 질문을 제외하면 나머지 부분은 사실 문제 사이의 행간을 잘 읽어서 출제의도를 파악하는게 풀어내는 것의 핵심임
개인적으로 그걸 잘 읽었으면 수능 3등급이라도 풀거고(1-2는 아니지만) 아니면 1등급이라도 손 못댐
수능하고 전혀 다른 문제니까 이건
1-2 쓰는 거 배워감
1-3은 연결을 시켜야하네
해설 보니까 쉬워보이네 풀땐 어려웠는데
더 열심히 한다