코시슈바르츠 부등식이랑 재배열 부등식 활용하면 풀리는군요
사인법칙 통해서 식 열심히 정리해주면 대충 symmetric한 꼴이 나오는데...
WLOG a1<=a2<=a3, a1a2+a2a3+a3a1<=a1^2+a2^2+a3^2를 직관적으로 받아들일 수도 있지만
재배열 부등식의 증명 아이디어를 차용하여 원소가 a1,a2,a3인 서로 같은 두 집합 S에서 일대일대응으로 원소쌍을 뽑아 곱해서 더했을 때의 최댓값이 a1^2+a2^2+a3^2임을 밝혀주면 좋을 듯 합니다.
사인법칙 통해서 식 열심히 정리해주면 대충 symmetric한 꼴이 나오는데...
WLOG a1<=a2<=a3, a1a2+a2a3+a3a1<=a1^2+a2^2+a3^2를 직관적으로 받아들일 수도 있지만
재배열 부등식의 증명 아이디어를 차용하여 원소가 a1,a2,a3인 서로 같은 두 집합 S에서 일대일대응으로 원소쌍을 뽑아 곱해서 더했을 때의 최댓값이 a1^2+a2^2+a3^2임을 밝혀주면 좋을 듯 합니다.
굳이 재배열부등식 안써도 우변-좌변=sum cyc 1/2(a_1-a_2)^2>=0이라 자명한 부등식 입니다. - dc App
그렇네요...? 되게 자명한데 잊고 있던 절대부등식이었네요;;
사인법칙 쓴 풀이도 궁금한데 혹시 올려주실 수있나요?? - dc App
아아 선생님 풀이랑 별반 다를 건 없습니다 두 변을 a,b, 끼인각을 theta, 대변의 길이를 c로두면 삼각형의 넓이는 absin(theta)/2라는 식과 삼각형의 외접원의 반지름 R=c/2sin(theta)라는 식을 연립하면 같은 식이 나옵니다 군대라서 종이에 푼걸 찍지 못해서 아쉽군요
내접원 반지름을 도입 안하고 풀 수 있는지 궁금해서요. - dc App
음 그말씀이셨군요 저는 sqrt(a1a2a3)*(sum sqrt(r_n)) <= sqrt(sum(a_n*r_n))*(sum (a_n)^2)을 증명하기 위해서 sum (a_n)^2이 a1a2+a2a3+a3a1 이상이라는 걸 뽑아내고 sqrt(a1a2a3)*(sum sqrt(r_n)) <= sqrt(sum(a_n*r_n))*(a1a2+a2a3+a3a1) 코시
a1a2+a2a3+a3a1=a2a3+a3a1+a1a2로 교환법칙 통해 순서바꿔서 생각하면 꼴이맞춰지죠
오 좋은 풀이 감사드립니다. 고수시네요 - dc App
칭찬 감사합니다 좋은밤 되셔요