문제; https://gall.dcinside.com/mathlogic/43748


이 문제는 AB가 원C와 두 점에서 만나기 위한 조건의 해석방향을 어떻게 잡는지에 따라 여러가지 방향의 접근이 가능한 문제임

근데 조금 잘못 생각하면 계산이 과하게 많아져서 방향 잘못 잡으면 망하는 문제라서 실전에서 당황하기 좋은 문제라고 생각함

가령 대표적으로 선분AB의 식을 구하고 x^2+y^2=9와 연립하여 실근이 x>=cos3t 범위에서 2개가 있어야 한다 이렇게 푼다면 계산폭탄이 감당이 안돼 불가능함

즉 기하적 해석이 처음에는 필요하고 그 뒤에 계산으로 마무리를 해야하는 문제


2, 3, 4번도 만만한 문제가 아니다보니 1번 안풀려서 뒷문제 우선 건드려보려 했는데 뒷문제도 이상해서 다시 1번이 그래도 제일 쉽겠지 하면서 돌아온 애들도 꽤 있었을텐데 1번 계속 안풀렸으면 멘탈 깨지기 딱 좋았을거 같음

즉 작년 건국대는 내가 실력이 일정 이상이 아니거나 계산력이 일정이상 약하거나 풀다가 꼬이거나 했으면 체감난이도가 정말 높을수 있는 시험이라고 생각함


다만 실제 시험 결과상으로는 합격을 위해선 1번을 풀긴 해야 했다고 보임

https://blog.naver.com/paradiseview/223843777989

2025 건국대 논술 결과cf 1. 2024 건국대 논술 결과 cf 2. 2025 건국대 설문조사 결과 <기준> 논술점수: 최종등록자 기준, ...blog.naver.com



[대학 예시답안]





대학 예시답안은 문제 조건을 만족하기 위해선 기하적으로 각OAB가 예각이 되어야 함에 초점을 맞춘 뒤 이를 중학생때 배운 삼각형의 각과 변 사이의 관계를 이용해서 길이조건으로 바꿈

개인적으로 제시문에 이 내용을 추가로 주었으면 좋았을거 같음




cf 1. 여기 자주 오는 모 갤러의 풀이





B에서 원C에 그은 접선을 생각하여 조건을 만족하려면 AB의 길이가 접선의 길이보다 더 커야 함을 이용함



cf 2. 요즘은 갤에 오는지 모르겠는데 수학문제 풀이 올려주는 유투브채널 풀이




위치벡터를 이용하여 풀음

즉 선분 AB가 원 C와 A가 아닌 점과 만나는 점을 D라 하면 OD(D의 위치벡터)가 저렇게 표현되는 0<s<1인 s가 존재해야 함을 이용


다만 대학의 의도와는 좀 다르지



cf 3. EBS 첫빠따로 풀이 올린 사람의 풀이



cf 1의 풀이와 비슷하게 접선과 관련된 아이디어를 썼는데 대신 기울기에 집중해서 풀음

그러나 t의 범위에 따라 어떤 기울기가 더 커야 하는지가 달라지다 보니 경우를 나눠서(총 3가지) 풀어야 하는 단점이 있었고 삼각함수의 연산이 상당히 복잡함

그러나 결과적으로 잘 정리해서 풀었지 


답안 올라오는거 보면 꽤 많은 애들이 이런 방식으로 접근해서 풀던데 이 풀이처럼 case를 나눠야 하는 경우인데도 불구하고 나눠서 푼 풀이는 별로 없었음. 자세한건 하단 느낀점 참고



올린시간 보면 저거 작성하는데 10분도 안걸렸을거 같은데 보자마자 저렇게 계산폭탄 풀이를 적어낸게 신기하네



cf 4. GPT o3의 풀이







gpt는 cf2 풀이와 유사하게 풀음



[잘못된 풀이 예] (근데 이렇게 푼애는 거의 없더라)



접선을 떠올리는건 좋은데 B에서 원C에 그은 접선이 중요한건데 두 원의 공통접선을 떠올리게 되면 수렁에 빠지기 쉬움

즉, 두 원의 공통접선의 접점을 이은 호(짧은 쪽)의 반대편 호(긴 쪽)에 A가 있으면 두 점에서 만난다는 논리

물론 저 밖에 있으면 무조건 두 점에서 만나긴 하지

하지만 그 이내에 있을때도 만날수 있는 경우가 있는데(즉 pi/3<t<theta 인 경우)누락이 되었으므로 결과적으로 틀린 풀이가 될 수밖에 없음



[개인적으로 EBS답안 보고 느낀점]

1. 상당수 애들이 처음부터 두 점에서 만날 조건을 제대로 찾지 않고 일단 접할때의 조건을 먼저 찾은 뒤 거기에서 답을 내는 방식으로 풀음

근데 문제는 거기에서 어떤 방향으로 부등호를 가야 하는지의 설명이 필요하고 그게 생각보단 좀 까다로울수 있다는 것임

실제로 pi/3, 5pi/3까지는 구해놓고 거기서 반대로 가버리거나 아니면 답은 구했지만 적절한 설명이 없는 경우가 상당수였음

설명은 t<pi/3, 5pi/3<t 일때는 안 만나는 것을 각각 직접 설명해 주면 충분함

전자는 쉽고 후자는 전자의 경우를 x축에 대해 대칭시킨 경우이니 자연스럽게 설명되지


개인적으로는 접점만 구하고 그 뒤 답을 내는 과정에서 문제가 있는 경우에는 점수를 거의 절반정도는 까야 한다고 생각했는데

학교 채점기준을 보면 이렇게 풀어도 거의 점수 감점은 없었을것 같음




채점기준을 잘 보면 방정식을 얻은 경우까지도 동급으로 허용을 해주는 것을 볼 수 있음

이렇게 푼 애들이 워낙 많아서 이거까지 뭐라 하기에는 너무 점수들이 떨어져서 기존 채점기준에선 없었지만 추후 추가된게 아닐까 싶기도 함(이건 내 뇌피셜)


또 처음부터 부등식 방향을 잡긴 했는데 이걸 반대로 잡는 등(ex. 각OAB는 예각이어야 하는데 둔각이라고 하는 등)의 실수를 하는 경우가 종종 있었고

cf 3과 같이 접근할 경우 t의 범위에 따라 부등호 방향이 달라져야 하는데 본인의 접근에 따라 case 분류가 필요한데도 제대로 안한 경우들 역시 좀 있었음(이 경우엔 답이 엉뚱하게 나오게 되겠지)



[추가] (cf. https://gall.dcinside.com/mathlogic/43803 )







왜 저때가 각OAB가 예각이 되는지에 대해서 굳이 설명하자면 두 점에서 만나려면 선분AB의 일부가 원의 현이 되어야 하고(이건 필요충분조건)

그러면 원의 중심에서 현에 수선의 발(H)을 내릴수있어야 하지

이때 삼각형 OAH가 형성이 되어야 하므로 각A는 예각이 되어야 함


근데 이런걸 꼭 설명해야 하느냐, 아니면 안해도 되느냐는 사실 명확하게 정답이 없는 문제임

사실 나같으면 이 부분에 대한 설명을 배점은 낮아도 채점기준에 넣었을거 같음 (즉, 이건 출제자 or 채점자들 맘에 가깝다고 보는게 맞음)

즉 문제 출제하고 채점하는 사람들이 '우리들은 기준을 이렇게 잡겠다'라고 하면 끝인거지


대신 그 뒤에 나온 식인 AB^2+3^2>OB^2은 이걸로 곧장 가면 문제가 있고 예각삼각형 이므로 이거다 와 같이 근거가 없으면 안되겠지

즉 예각삼각형인 이유 설명까진 요구하지 않지만 최소한 예각삼각형이기 때문에라는 근거는 남겨둬야 한다는 것


[1] 2025 서울과기대 오후 2번cf 1. 서울과기대 (ST자유전공 중심으로) cf 2. 과기대 설문조사(오후) 답변내용 정리(갤러리) 서울과기...blog.naver.comhttps://blog.naver.com/paradiseview/223699415679


가령 2025 과기대 2번 문제에서도 개인적으로는 사실 수식을 얻고 나면 '피타고라스의 역정리에 의해' 라는 언급을 붙여주는 것이 맞다고 생각하지만

이런 정도의 자명함은 학교에서 크게 신경 안쓰고 넘어가는 것으로 보임

즉 수식을 얻어내는 것이 중요한 것이지 그걸 얻어냈으면 직삼이라 주장하는 것은 자명하게 넘어가도 된다라고 보는 것이라 할 수 있음


따라서 내가 예전에도 이야기했듯이 실전에서는 그냥 잘 모르겠으면 내가 아는데까지 적고 나오면 됨

내가 증명해야 한다고 생각했는데 사실 안해도 상관없는 경우도 있거든

물론 연습할때는 최대한 이런부분들을 설명해보려고 노력하는 태도는 중요하다고 생각함

그와 동시에 여러 문제들 풀어보고 예시답안, 채점기준 등을 보면서 어느정도까진 넘어갈 만한지 '감'을 잡는 것 역시 필요하지


+tip. 보통 문제가 짧으면 풀이를 자세하게 적어주는 것이 안전하고, 길면 핵심 위주로 적어줘도 괜찮음. 아래 글 하단내용 참고

https://blog.naver.com/paradiseview/223715510291

답안의 축약에 대해cf 1. 풀이를 적는 것부터가 힘든 경우 cf 2. 답안공간 형태에 따른 서술 Tip 풀이 작성을 처음 연습한다...blog.naver.com