https://gall.dcinside.com/mathlogic/51808 이 풀이에 대한 생각


굳이 올리는 이유는 한번쯤 생각해볼만한 지점이 있기 때문


솔직히 맨 처음엔 풀이가 뭔 개소리지 라고 생각했는데 직관적으로는 맞는 해석을 한 풀이라고 생각되기에 해당 풀이에 대한 리뷰를 해 봄







풀이의 내용은 r 대신 a인 경우의 원과 x=t의 교점 중 4사분면에 있는 교점을 구한뒤 이걸 반지름 r 원의 방정식에 대입해서 방정식을 얻고


거기서 a-r을 소거한 뒤에 갑자기 a=r을 대입해서 a를 없애서 r, t의 관계식을 구함


이 풀이는 글의 첫 댓글에서 지적하듯이 치명적인 문제가 있음



즉 A=>B로 가려면 a=/=r여야만 하는데 (a=r인 경우는 A=>B가 성립하지 않으므로)


그런데 A=>B라고 해 놓고 나서 B를 정리할때는 a=r을 대입하니까 말이 안되는 것


그런데 신기한건 이렇게 해서 나오는 t, r의 관계식은 미분을 이용해서 푸는 실제 정답과 동일하게 나오게 됨


왜 그런지 난 이해를 못했는데.. 이게 우연히 이렇게 나오는거 같진 않고 뭔가 이유가 있을 것이라 생각되어 왜 이렇게 해도 정답이 나올까에 대해 좀 더 생각을 해본 결과 아래와 같았음





a, r이 아니라 헷갈리지 않게 아예 a, b 라고 하면 (a<b)


r=a 일때의 원방과 x=t(t는 정해진 어떤 값)와의 교점을 r=b 일 때의 원방에 대입해서 성립한다는 것은


위 그림과 같이 두 원과 x=t가 한 교점을 공유하고 있다는 의미인데..


우리가 원하는 r의 값은 a와 b 사이에 있음을 직관적으로 알수 있음 (r을 점점 키우면서 원을 여러개 그려보면 x=t와의 교점이 처음에는 아래로 내려가다가 어느 순간부터 다시 올라가니까)


즉 a를 조금씩 키워가면 위와 같이 x=t에서의 교점을 공유하는 b는 조금씩 작아질거고 결국에는 a=b가 되는 상황이 생기게 되고 그 때의 a, b의 값이 바로 우리가 원하는 r의 값이 됨





여기서 'a를 조금씩 키워가면 교점을 공유하는 b는 조금씩 작아질거고 결국에는 a=b가 되는 상황이 생기게 되고' -> 이게 일종의 극한의 상황인 것이 핵심


즉 우리는 b-a->0으로 가는 상황에서 a(또는 b)의 극한값을 구하면 되는 것이고 그 극한값이 바로 우리가 구해야 하는 r의 값이 되겠지


b-a->0은 a와 b가 다른 것이므로 저 식에서 a-b를 소거하는 것이 가능함


따라서 f(a, b)=(a-b)(a+b)^2-2(a+b)*sqrt(2at-t^2)+2t = 0 이 되는데 (물론 a=/=b일 때)


a, b의 '극한값(=r)'을 f에 대입했을 때, 즉 a, b->r일 때의 f의 극한값 역시 0이 되어야 함 (f는 계속 값이 0이니까 극한값 역시 0이라고 생각할 수 있겠지)


결과적으로 -4r*루트(2rt-t^2)+2t=0 -> t=8r^3/4r^2+1 이 됨




즉 미분을 직접적으로 쓰지 않아도 위와 같이 풀어내는것은 가능하지만


다분히 직관적이기도 하고 애초에 미분을 이용하면 엄밀하고 깔끔하게 해결이 되니까 저렇게 풀 필요가 없지 


어쨌든 갤러의 풀이에서 a-r을 소거한뒤 a=r을 넣어서 답이 우연히 같게 나온건 아니고 이유가 있는 것이라 볼 수 있음


다만 a-r을 소거한뒤 a=r을 대입하는 과정은 극한의 개념을 도입해야만 논리적으로 충돌이 생기지 않을수 있기 때문에 풀이에서 이와 같은 '처리'가 명확하게 보여져야 점수를 대부분 받을 수 있을 것이라 보임



그래서 해당 갤러의 풀이는 상당히 채점하기에 애매할 것 같음


아마도 이렇게 푼 사람들이 생각보다 많은지 여부와 출제자가 이러한 접근을 인정해주느냐에 따라 달렸을 것이라 생각됨


개인적으로는 극한의 개념을 도입해서 처리를 잘 했다면 나같으면 감점없이 별해로 인정할거 같고 (그러나 이것도 사실 알수 없음)


그렇지 못했더라도 이러한 풀이과정 자체가 두 원이 같아지게 되는 상황이 답이 된다라는 것을 직관적으로 이해했다고 인정해서 어느정도 부분점수를 줄 수도 있다고 생각


하지만 실제로 어떻게 채점될지는 모르지


다만 해당 접근이 아예 수학적으로 무의미한 것도 아니고 전혀 엉뚱하게 풀었는데 답만 '우연히' 맞는 경우라고 볼 수 없기에


그냥 그어 버리기보다는 풀이+답에 대해 어느정도의 부분점수가 부여될 가능성이 꽤 있다고 보여짐