복원올린거 보니 작년보단 좀 난이도가 있게 나온거 같네


경기대 친 애들은 여기 많진 않은거 같은데 그중에서 2-1은 좀 얘기들이 있는거 같은데 논술 기초 애들 입장에선 꽤 괜찮은 문제 같아서 내 의견을 간단히 말해봄


2-1 문제/작성답안 -> https://gall.dcinside.com/mathlogic/55971 




저 밑에 원 조건이 없으면 f(x)+f(-x)=2 까지만으론 f를 특정하진 못하는데 아마 저거까지 있는 상태에서 f를 구하는 것으로 일단 이해함


핵심은 접선의 개수에 따른 조건을 어떻게 해석하느냐인데


아마 경기대 시험친 애들 상당수가 아래처럼 그림 그려서 푸는 시도를 하려고 했을 가능성이 높아 보임


https://gall.dcinside.com/mathlogic/55980 





이 문제에서 생각해볼 수 있는 부분들은 다음과 같다고 봄



1. 변곡점 용어나 개념 자체를 쓰면 안된다?




난 이게 뭔소린가 해서 찾아보니 일단 현재 수2에서 이계이상의 미분을 다루지 않으니 볼록 오목 등도 알수가 없고 따라서 변곡점이란 용어도 수2에선 공식적으로 다루진 않는거 같네


근데 다들 알다시피 관련 내용을 아는 것이 상당수의 삼차함수 문제 접근에 있어 매우 중요한데.. 


하여간 여기서 걱정하는 '변곡점 안쓰려고'는 큰 문제가 안된다고 생각


시험범위가 제한된거지 시험범위가 아닌 고등 교육과정 이내 내용이기만 하면 뭘 써도 상관없을 가능성이 높음


건국대 자전의 경우가 그러한 경우인데 시험범위가 수1, 수2이지만 미적 등 시험범위 아닌 고등 교육과정 이내 내용을 쓰는 것은 상관없다고 내가 이전에 건대 입학처에 문의해서 확인한 바 있음 -> https://gall.dcinside.com/mathlogic/22296 


물론 경기대의 경우 다를 수 있지만 아마 크게 문제없을 가능성이 높음 (입학처에 문의해 보는 것이 제일 정확)



2. 그림(개형)으로 풀어도 되는가?


위 사진 풀이는 너무 그림에만 의존한 풀이지


물론 그림에 하나도 의존해서 풀면 안된다(수식 등으로만 해결해야 한다)는 당연히 아님 (ex. https://blog.naver.com/paradiseview/223897502643 -> 2025 단국대 오전 1-3 참고)


애초에 그걸 의도한 경우도 있고, 그렇게 안하면 매우 복잡하게 흘러가는 경우도 있기 때문


따라서 이런 부분에 대한 경계가 애매한 것은 사실이나, 개인적으로 생각하는 기준은 수식으로 충분히 설명이 가능한 부분이라면 수식 설명이 출제자가 의도한 답안일 가능성이 높고


이 경우는 수식적 설명 없이 그림에 의존한 풀이는 감점 혹은 심할 경우 점수 없음의 경우도 가능할 수 있다는 것




또 그림으로 해결한다 하더라도 근거가 되는 그래프의 형태(개형)가 b의 값에 따라 달라질 수 있으므로 이 댓글처럼(표현은 좀 부적절 하다만.. 어쨌든) 개형에 따른 경우를 나눠서 푸는 것이 필요하겠지


다행히 답이 b=0인 경우가 아니긴 해서 이렇게 접근해도 답은 나올수 있었겠지만



3. 조건의 해석을 변곡접선으로 하는 것은 괜찮은가?


우선 변곡접선이란 용어는 교과내는 아니라고 알고 있음


다만 이건 변곡접선이란 용어를 쓰지 않고 변곡점에서의 접선 이러면 충분하고 사실 변곡접선 이라는 용어를 써도 상관은 없다고 봄




이 내용은 반은 맞고 반은 틀리다고 생각되는데 앞서 말했듯 수1 수2 이상 내용을 쓰는거 자체가 문제가 될 가능성은 적음 (출제의도는 당연히 아니지만)


하지만 변곡점과 관련된 내용을 써서 푸는 문제가 아니라는 점이 동의하는 부분





이 조건의 해석을 변곡접선의 기울기가 -1인 것으로 해석하는 것에 대한 이야기들이 종종 보임



다른 글의 댓글




수능이라면 이렇게 풀어도 전혀 상관은 없고 논술에서도 이렇게 푸는게 틀린 풀이는 아님


다만 논술은 풀이를 작성해야 하고, 근본적으로 '왜 그때가 변곡접선인지' 에 대한 증명을 해야 하겠지 (즉 해당 조건들을 통해 왜 변곡접선의 기울기가 -1이라는 주장을 할 수 있는지)

- 증명은 사실 간단하지. 접선의 기울기가 변곡점에서 극소를 찍는 것이 쉽게 설명되니까

- 여기서 사실상 일차항 계수가 0이 아님이 자연스럽게 설명되는데 ax^3+1이면 x=t에서의 접선 기울기가 3at^2 이 되는데 이건 조건 만족이 불가능하지


이게 교과서에 그대로 있는 내용에 기반한 내용도 아니고 단지 그림 상 직관적으로 그렇게 보일 뿐이니까


이에 대한 증명이 없었다면 감점이 될 가능성이 높다고 봄(얼마나 할진 모르겠지만)


가령 아래 문제를 보면.. (2022 한국외대 9번)








사실 수능같으면 B에서의 접선이 OA와 평행할 때가 답이다 이렇게 풀어도 상관없고 (직관적으론 당연하지) 그게 더 빠름


그러나 출제자는 이걸 당연하다고 생각하지 않고 개념에 입각해서(즉 삼각형의 넓이는 1/2 * 밑변 * 높이, 높이는 점과 직선 사이의 거리 공식 + 미분 통해서 최댓값을 구할 수 있음) 푸는 것을 의도한거지


물론 이런게 모든 학교의 모든 문제에서 이런 식이라고 일반화할 수는 없음 (즉, 직관적인 부분을 0으로 해야 하냐? 가 아님)


다만 앞서 이야기했듯 논리적으로 엄밀하게 풀어낼 수 있는 (지나치게 복잡하지 않은) 풀이가 확실히 있는 상황이라면 애초에 출제자가 의도한 풀이가 그거일 가능성이 당연히 높고,


그 외의 풀이에서 논리적으로 엄밀함이 떨어지는 풀이(보통 직관이 많이 들어간 풀이)가 감점이 어느정도 있을 가능성을 배제하기 힘들다는 거지



물론 실전에서는 현실적으로 의도된 풀이(일단 시험범위상 미적 내용을 쓰지 않는거겠지)가 뭔지 모르겠거나, 혹은 왜 변곡접선의 기울기가 -1인지 증명을 못하겠거나 증명할 여유가 도저히 없다면


일단 저렇게 해서 답을 내고 서술하고, 나머지 문제들을 풀고 나서도 시간 여유가 있다면 그때가서 보완해도 늦지 않겠지


얼마 깎을지는 모르는건데 저 외대 문제처럼 그냥 접선일 때를 구해서 풀어도 12점 중에 2점 정도만 깎을수도 있는거고 만약 이런 경우 당연히 답을 어떻게든 내는게 괜히 고민하는 것보다 훨씬 유리하지


개인적으로 변곡접선 기울기 -1인 것을 설명없이 주장하고 풀어서 답을 낸 경우도 반 정도는 점수를 받지 않을까 생각해 봄 (일단 그렇게 푼 애들이 많을거기도 하고)



4. 그럼 실제 의도한 풀이는?




개인적으로 출제의도는 이 풀이에 가깝다고 생각


물론 약간 표현이 그렇긴 하지만 저 정도면 무슨 의미인지 충분히 알아먹을 수 있고 어쨌든 왜 그때가 답인지에 대한 설명을 한 것이므로 점수를 충분히 부여할 수 있다고 생각 (깐깐하게 본다면 이것도 감점이 가능할 수는 있겠지)


수식으로 표현하자면


f=ax^3+bx+1 => f'=3ax^2+b


b=0이면 조건 만족 불가

a, b의 부호가 같거나 a<0, b>0이면 조건 만족 불가

a>0, b<0이면 극솟값 b=-1이면 조건 성립 가능, 극솟값은 x=0에서 가지므로 f'(0)=-1


이정도로 설명할 수 있겠지

핵심은 어쨌든 f'을 생각하는 것이고 앞서 말한 왜 변곡접선 기울기가 -1인지 증명과 동일한 논리라고 할 수 있지


그 뒤 a를 구하기 위해 접선 사이 거리를 구하는 것은 고1에서 배운 평행선 사이 거리를 구하는 방법을 쓰면 되겠지

(아님 위처럼 대칭성을 이용하여 변곡점과 어떤 한 직선 거리를 구하는 방식도 상관 없고)


즉 어떤 직선 위 한 점 아무렇게나 잡고 다른 직선에 점과 직선 사이 거리 공식 적용




+ (나중에 채점기준이 나와봐야 알겠지만) 수능형 개형추론 문제이지만 논술에서 요구되는 접근과 수능식(?) 접근이 다를 수 있는 대표적인 문제 중 하나라고 생각됨


즉 f(x)+f(-x)=2 => (0, 1)이 점대칭점 여기까진 좋은데


f가 3차함수니까 그 점대칭점이 변곡점이고 접선 기울기 조건 보면 변곡접선의 기울기가 -1이다


따라서 f=ax^3-x+1 이다 이렇게 접근했다면 해당 부분에서 감점은 피하기 힘들 가능성이 높음


물론 실전에선 감점을 안당하는 다른 방법 강구한다고 시간 날리느니(만약 다른문제 풀고나서 시간이 없었다면) 일단 이렇게 해서라도 답을 내는것이 더 중요하긴 하지만.. 


수능이라면 답이 어쨌든 하나로 정해져있으니까 이런식으로 조건들을 모두 만족하는 특정 케이스를 직관적으로 잘 찾아내면 끝이지만


논술에선 왜 그 경우만 가능한지에 대한 설명이 없으면 논리적인 허점이 여전히 존재하게 되지


따라서 f(x)+f(-x)=2 => f의 식이 ax^3+bx+1 까지는 ok 이지만


접선 기울기 조건을 해석할때 그냥 변곡점에서의 접선기울기가 -1이다 가 아니라 a, b의 부호에 따른 경우를 나눠서 답인 경우를 제외한 나머지 경우들은 안됨을 확실히 배제한 뒤 정답인 케이스는 이때뿐이다 라고 주장하는 방식으로 가야 논리적으로 허점이 없다고 볼수 있겠지



다만 실질적으론 위에서 언급한 외대 9번처럼 대충 ax^3+bx+1 얻어낸뒤 답 잘 구해도 대부분의 점수를 주는 방식으로 채점기준이 구성될 가능성이 난 높다고 봄


애초에 엄밀하게 서술한 애들이 별로 없을거라고 보고 푼 애들도 그냥 수능문제 풀듯이 푼 애들이 대다수라고 생각


https://gall.dcinside.com/mathlogic/20632 -> 이 글에서도 알 수 있듯이 출제자가 어떻게 배점을 하느냐에 따라 실제 논증이 어려운 부분에 대한 배점이 난이도에 비해 높지 않게 설정되어 있을수도 있으므로..


이런건 채점기준 까보기 전까진 모른다고 볼수 있지