* 문제복원; https://gall.dcinside.com/mathlogic/58047 (1-2는 https://gall.dcinside.com/mathlogic/58036 참조)
* 시험직후 설문조사 결과정리; https://gall.dcinside.com/mathlogic/58415
2번은 상당히 익숙한 그림이지
2-1
OA 최소, OB 최소는 둘다 동일하지 (선분 OP 위에 A 또는 B가 있는 경우; 즉 O AorB P 순서대로 한 직선위)
-> 엄밀한 설명은 삼각부등식으로 할수 있지만 그걸 요구하는 문제는 아니고 최소인 상황만 생각하면 될것
문제는 해당 상황의 개수인데.. 주어진 범위에서 P는 한바퀴, AorB는 5바퀴를 돌음
여기서 접근이 2가지가 가능한데, 하나는 기하적으로 보는 관점. 나머지 하나는 대수적으로 보는 관점
기하적으로 보는 관점은
이런식으로 문제에서 원하는 상황이 되기 위해서 방향각인 t, 5t가 어떤 관계에 있어야 하는지를 따지는거지
가령 위의 상황은 5t=t+pi 이면 되는데 +3pi일 수도 있고 +5pi일 수도 있겠지
즉 t의 범위에 따라 case를 나눠서 해줘야 하는데 상당히 골치가 아프고 이런 식으로 A도 해야하니..
결국 이 문제는 기하적 관점보다는 대수적 관점이 간편함을 알 수 있음
어차피 A, B의 좌표는 있으니 점과 점사이 거리공식을 통해 원점과의 거리가 7/2-1=5/2가 되도록 하는 t를 구하면 충분
우선 A만 해보자면
A의 x좌표^2+y좌표^2 = k^2/4 + 1 + k(costsin5t + cos5tsint) = k^2/4 + 1 + k * sin6t = 25/4
k=7 이므로 sin6t = -1이 나오고 주어진 t 범위내에서 방정식을 풀어주면 되겠지
B도 마찬가지로 진행하면 충분
2-1은 설문조사에서 답변률이 높게 나왔는데, 나는 사실 기하적 접근을 먼저 떠올렸기에 개인적으론 체감난도가 높았음
2-2-1
우선 t1은 별로 어렵지 않지
두 점의 방향각이 (2k+1)pi 차이가 나면 되고 B는 방향각이 5t이고 A는 pi/2-5t (시계방향으로 회전) 이므로
두 방향각의 차는 절댓값 10t-pi/2 이고 10t-pi/2=pi 를 풀면 되므로 t1=3pi/20
이때 직선 AB의 교점 중 하나는 당연히 P(이걸 편의상 Q라 하고)이고, T 좌표만 구해주면 끝이지
문제는 QT의 제곱이 특정한 꼴이 나와야 하므로 여러가지 계산방법이 있겠지만 그냥 맘편하게 Q, T의 좌표 계산한뒤 점과 점사이 거리공식 쓰는게 제일 간편할거 같긴 함
즉 Q(7/2 cost1, 7/2 sint1) 이고
AB와 x축이 이루는 각이 135도이므로 위 그림에서 OH는 y=x이고 T, Q는 이에 대칭이므로 T(7/2 sint1, 7/2 cost1) 이고
거리제곱 식에 2sint1cost1=sin2t1 적용하면 저 형태가 나오지
2-2-2
2-2-1을 해결했으면 공짜 문제
그래서 개인적으로 이 결과는 좀 이해가 가지 않음
2-2-1와 2-2-2의 답변률이 비슷해야 정상인데 왜이리 답변률이 차이가 나는지..
2-3-1
단순하게는 미분을 해봐도 되겠지만.. 식이 복잡하다고 생각되어 처음에는 기하적 관점에서 보려고 시도했으나 앞 문제와 같이 힘든걸 깨닫게 되고
결국 어쩔수 없이 계산 진행..
계산은 gpt를 이용..
앞서 문제들과 같이 식정리를 하는건 삼각함수 덧셈정리를 사용하면 되지
결국 이 값이 0 이상이 t의 범위에서 유지되면 되는거고 cos4t의 최소는 -1이므로 가장 최악의 상황인 k^2/4-3k+5의 값이 0 이상이 되는 k라면 나머지 t의 경우에 대해서도 0 이상의 값을 다 만족할수 있겠지
이때의 부등식을 풀면 (k-2)(k-10)>=0 이므로 자연수 k>3에서 10
2-3-2
dy/dx 이므로 dy/dt / dx/dt 로 계산하면 결국 분모만 중요하고 분모는 dx/dt = -k/2 sint - 5sin5t < 0
따라서 이 값이 모든 t에 대해서 0이 안 되도록 해야 하는데 0<t<pi/2 이므로 따라서 저 값은 0 미만이 돼야하고
(다만 t=pi 같은 경우는 무조건 0이 되는데 좀 이상한거 같긴 함.. 그래서 모든실수 t라 돼있지만 2-3-1에서 정의된 t의 범위를 그대로 이용했을 것 같긴 함)
sin5t / sint > -k/10 이 되므로 결국 sin5t / sint 를 생각해서 이 값의 범위를 따져주면 답을 구할수 있겠지
일단 생각나는건 미분을 해서 극값을 조사해 보는건데.. 2-3-1과 차이점은 2-3-1과 달리 분자가 깔끔하게 정리가 되지 않는다는 것
따라서 이건 sin5t를 직접 하나하나 분해하는 방식으로 갈 수밖에 없고 개인적으로 전체 문제 통틀어서 이 계산이 가장 화나는거 같음
즉 sin5t = sin2tcos3t + sin3tcos2t
sin2t=2sintcost
sin3t = sintcos2t + sin2tcost = sintcos2t + 2sint(cost)^2
따라서 sint로 약분하면
2costcos3t + (cos2t)^2 +2(cost)^2 * cos2t
가 되고
만약 이 식을 곧장 미분해버리면 참사가 일어날 것이고 결국 정리를 해야 하는데
일단 cost에 대한 식으로 정리가 되는 것은 확실하므로 그걸 믿고 cos3t, cos2t로 변환해서 해결하면 됨
정리하면 의외로 16c^4 - 12c^2 + 1 이라는 나름 깔끔한 식이 나옴
결국 c^2=x로 치환하면 16x^2-12x+1의 범위 (단, 0<x<1) 를 체크하면 되고 범위는 -5/4 이상 5 미만이 나오게 됨
따라서 -5/4 > -k/10 이면 충분하고 정리하면 k>25/2 가 되므로 답은 13
개인적으로 1번보다 2번이 체감난도가 더 높았음
- 근데 갤에 보면 2번이 더 쉽다는 의견이 많은데 이 부분은 나랑 의견이 좀 다르네
두 문제 다 특별한 아이디어를 요하는 문제는 아닌 것은 동일하고
2-2까지는 그나마 계산량이 나쁘진 않은 편인데..
2-3은 그냥 순수 계산폭탄이라 (다른 방법이 있는지 모르겠네) 가뜩이나 1번에서 말린 애들은 시간도 부족한데 2-3은 하다가 걍 던졌을 가능성이 높아 보임
실제로 시간부족 영향도 있고 계산도 많은 문제다 보니 2-3이 가장 저조하게 나오네
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