설문조사 결과 가장 어려운 top3에 2-2가 꼽힘

4보다 더 높게 나오네


그럴만한게 이번엔 2번 제외 나머지 문제들은 미적에 익숙한 주제들로 나온 반면

2번은 확통인데 수능스타일이 아닌 약간 논술틱? 한 문제지 (일반화된 상황을 해석하는)

정작 확통 내용은 E(X)가 뭔지만 알면 되는 문제


2-2를 곧장 내기엔 어려울수 있으니 2-1을 통해서 맛보기를 시켜주고 2-2에서 일반화를 요구함


또 설문조사 글 댓글로 2-2의 풀이에 대한 이야기들이 나와서 보니까 좀 할얘기가 있어서 2-2만 한번 써봄




복기본 -> https://gall.dcinside.com/mathlogic/53393 


포만한에서 누가 복기해놓은 것 (근데 이건 정작 X가 뭔지가 빠져있음.. 대신 제시문 내용이 있네)



우선 




포만한 복기본은 P(X=3)인데 여기는 P(X=9)네

이 문제는 X값을 제시해줬으므로 세팅이 딱 나오기 때문에 편하지

그나마 P(X=3)이면 경우가 여러개가 나오는데 X=9인 경우는 하나로 정해질 수밖에 없으므로 더 쉽고 사실상 공짜 문제






핵심은 2-2인데 2-1에서 사용했던 방법을 일반화(10 -> n, 9 -> k) 하면 되겠지

즉 P(X=k)을 구하고 제시문에 주어져있는 E(X)의 식을 이용하여 열심히 시그마 계산


그러면 E(X)=n+1/2 를 얻고 답을 구할수 있음

저 풀이에서는 정리하는 과정 중 핵심만 좀더 추가한다면 크게 문제없는 풀이가 될거같음 (애초에 단순 계산은 생략한 풀이이니 알아서 잘 했겠지)



올해 기출중 이 문제랑 개인적으로 유사하다고 생각하는 문제는



올해 시립대 4번 문제

이 문제의 경우 X=두번째로 큰수-가장 작은수 가 되겠지 (좀더 까다로움)

 


또한 일반화하는 능력을 평가한다는 점에서는 올해 과기대 1-3 과도 유사하다고 생각 (설명 참고 -> https://gall.dcinside.com/mathlogic/54900 )



또 올해 아주대 오후 1-2-2와도 이 점에서 유사 ( https://gall.dcinside.com/mathlogic/58436 ) 


그래서 이 문제에서 답은 맞았으나 풀이가 거의 의미가 없을수 있는 경우는 일반화와 관련된 문제인 경우가 많을 것이라고 보임

즉, E(X)= (n+1)/2 임을 규칙을 통해 구해놓고 이를 사용한 경우가 문제라는 것


일단 규칙을 얻으려는 것 자체는 좋은 시도

예를들어 보는 것은 곧장 일반화를 하기 어려운 경우 유용한 전략 중 하나지

n=3, 4, 5 와 같은 작은 수에서 직접 해보면 이는 충분히 추측이 가능


하지만 논술에서는 당연히 추측한 내용을 정확히 증명해야겠지

그게 아니면 단순 규칙성으로 찍은 것에 불과하니까


특히 이 문제는 규칙 찾기가 어렵지 않다는 점에서 이렇게 푼 애들이 은근히 있을 것 같은데

이렇게 풀 경우 사실상 점수가 없었을 가능성도 있음


어쨌든 답은 맞았으니 답 점수를 얻을 수 있지 않느냐?

사실상 이건 문제를 풀기 위한 핵심 과정이 없이 답을 찍어낸 수준이라 풀이가 없는 것이나 다름없는 수준이고 과정 점수가 없는건 당연하고 답 점수도 안줄 가능성도 충분히 있음




특히 건대는 위와 같이 각 과정마다 독립된 점수가 있는게 아니라 누적식으로 등급을 매김

즉 어디까지 유의미한 접근을 했느냐를 기준으로 등급을 책정

과정이 없거나 무의미한 상황에서 답만 맞는다면 제대로 점수를 줄 가능성은 적지



다만 이러한 경우라면 결과만의 규칙이 아니라 결과를 구하기 전 구성 식에서의 규칙을 확인해서 일반화한뒤 시그마 계산했다는 것이므로 큰 문제가 없을것 같음

어쨌든 일반화된 식은 구하긴 했으니까

물론 처음부터 일반화된 상황을 통해 유도하는 것이 깔끔한 풀이이긴 하지




이건 P를 구하는 식은 제대로 세워서 P(X=k) 와 P(X=n+1-k)가 같은 값, 즉 P(X=2) ... P(X=n-1)을 나열해보면 대칭적임을 이용했다 이렇게 이야기 하는거 같음


즉 k*P(X=k) + (n+1-k)*P(X=n+1-k) = (n+1)*P(X=k)

이니까

(n+1)*(P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=n+1/2)) 의 꼴이 될거고


한편 P들의 합이 1이 되는데 P의 분포는 대칭꼴이므로 P(X=2)+P(X=3)+...+P(X=n+1/2)=1/2 이라는 거지

(물론 좀더 제대로는 n이 짝수일 때와 홀수일 때를 나누어서 서술해야 함)


만약 시그마 계산을 안 하더라도 이렇게 수식적으로 설명을 했으면 허용이 될 것이라고 생각되는데

글로 대충 넘어갔다면 P의 값을 구하는 것 이후 단계의 점수를 받기 힘들어보임



만약 규칙을 찾아서 E(X)=(n+1)/2임을 확인했는데 이를 곧장 증명하려고 한다면? 수학적 귀납법을 통한 증명을 보통 시도할 수 있지


즉, 1~n까지 카드에 n+1 카드가 추가됨으로 인해서 추가되는 경우(a, b, n+1 이렇게 뽑는경우)에 대한 경우를 추가로 생각해주면 되지


결과적으로 (n+1)/2 * nC3 + (추가되는 경우에 대한 X 값들의 합 계산) 을 계산한뒤 n+1C3으로 나눈 값이 (n+2)/2 가 됨을 증명하면 충분


이렇게 풀었어도 모범답안하고는 다르지만 논리적으로 오류는 아니므로 점수를 다 받을수 있을 것