[일반] 가천의 논술 합격자가 푼 아래 정구각형 넓이의 비 문제 풀이

[익명(223.38)]

정구각형 한 변의 길이를 k라 하고, 맨 위 꼭짓점부터 반시계 방향으로 꼭짓점들을 각각 P_1, P_2, ..., P_9라 하자. 선분 P_1 P_2 위의 점을 Q라 하고, 선분 P_1 Q 길이를 x라고 하자. (단, 0<=x<=k) 이때 함수 y=(왼쪽 오각형의 넓이)/(가운데 삼각형의 넓이)는 x=0에서 최댓값 약 1.68을 갖고 단조 감소해 x=k에서 최솟값 약 0.91을 갖는다. 따라서 3:2의 비를 갖게 하는 점 Q는 유일하다.


정구각형의 무게중심을 점 O라 하자. 이때 삼각형 O P_5 P_6의 넓이를 1이라 하자. 선분 P_2 P_5를 그으면 이 선분은 선분 P_1 P_6이랑 평행하다. 이 선분들과 평행하면서 점 O를 지나는 선분 l을 그린다. 선분 l과 선분 P_1 P_2의 교점을 점 R이라 하자. 그러면 (오각형 R P_2 P_3 P_4 P_5의 넓이)=(삼각형 O P_2 P_3의 넓이)+(삼각형 O P_3 P_4의 넓이)+(삼각형 O P_4 P_5의 넓이)=3이다. 마찬가지로 (육각형 R P_1 P_9 P_8 P_7 P_6의 넓이)=4이다. 이때 정구각형의 넓이가 9이므로 (삼각형 R P_5 P_6의 넓이)=2이다. 따라서 점 R이 점 Q이고, 넓이비가 3:2:4이다.

[수논갤러 1(14.32)]

http://www.elliottline.com/solutions
저기서 555번 이 풀이랑 똑같은거임??
저기가 넓이가 4일거라고 짐작을 하고 넓이가 9인 9각형이 저 상황을 만족한다고 역으로 끼워맞추는 풀이?

[익명(223.38)]

같은 발상이네요. 저는 저 문제 보고 먼저 든 생각이 넓이의 비가 3:2인 상황이 유일하게 존재하는지 확인해보고 싶다였어요. 2가지 이상의 상황이 나온다면 주어진 문제의 답이 하나가 아닐 테니깐요. 그래서 각도와 삼각형의 넓이를 이용해 유일성을 보였고요.

[익명(223.38)]

그 이후에 3:2의 조건으로부터 오른쪽 부분의 넓이 비를 찾기가 아주 어려워서 저 풀아처럼 풀었네요. 주어진 조건 중 일부와 답으로 예상되는 걸 가정해서 결국 문제 상황에 만족하는 상황이 존재한다는 걸 보였습니다.

[수논갤러 1(14.32)]

@글쓴 수논갤러(223.38) ㅇㅎ 계산이 훨씬 간단하긴 하네. 넓이비 써서 푼거 있긴 한데 계산이 훨 복잡한듯. 올려나봄.

[수논갤러 1(14.32)]

풀이
https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=mathlogic&no=64743&page=1