일단 어느정도 정보가 취합된거 같아서 올림

문제마다 내가 달은 코멘트들은 주관적인 의견이니까 적당히 걸러서 보면 됨


풀이는 다른 사이트들에도 있긴하겠지만 친절하게 갤에 본인 풀이를 올려준 갤러가 있으니 이걸로 대체하겠음

-> https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=mathlogic&no=763&page=1


* 타 커뮤 문제+복기 잘된거(url로 추가)

https://m.cafe.naver.com/pnmath/2615681 (회원가입 필요)


b.jongro.co.kr/pop/pop211002mun.asp (왜인진 모르겠는데 이거 그대로 클릭하면 안되고 복사붙여넣기 해야 오류안남 / 종로학원, 연세대/시립대/홍익대)



[총평]

1. 문제 난이도는 알고보면 그다지 어렵지 않은데, 익숙하지 않은 문제 때문에 체감 난도가 작년보단 약간 높았을 것으로 생각됨 (3, 4번)

2. 혹시나 했는데 역시나 고루고루 출제하였음. 타 대학들도 출제범위에 나온 범위는 다 공부하는게 안전하지 않을까 싶음

3. 연대는 항상 문제 이해 자체가 좀 난해한 문제를 냈는데 이번에도 역시 출제 (3번)

4. 제시문이나 소문제가 있는 문항의 경우, 이들 사이 연관을 잘 이용을 해야 했음 (2, 3, 4번)

5. 아이디어는 머릿속으로 잡히긴 한데, 글로 설명이 까다로울수 있는 부분이 꽤 있었음 -> 얼추 읽었을때 채점자 입장에서 의미가 이해되면 점수를 줄거같긴 하지만 표현을 어느정돈 잘 해야 할거같음 (3-2, 4-2, 4-3)

6. 경시대회나 이런걸 꼭 해야만 풀수있거나 유리한 문제는 아니지만, 아예 처음 본다면 생각하기 힘든 접근을 요하는 문제를 출제(3-2 더블카운팅)






그냥 기댓값이랑 확률변수가 뭔지 알면 걍 풀리는 문제임

0점방지용 문제..





2번은 논술공부를 좀 했던 애들이면 전형적인 문제긴 해서 의도랑 전체적인 접근방향 자체는 뻔히 보이는 문제긴 함

그러나 완벽한 점수를 받기에는 또 그다지 쉽지않은 문제..


2-1 부등식은 조건과 제시문 내용을 이용해서 적절히 부등식을 잘 조작하는 능력을 보는 문제


2-2는 2-1의 결과를 이용해서 샌드위치를 써주면 되는 문제지

조심해야할건, 해당 수열이 1번 소문제에 있는 조건을 만족한다는 것을 당연하지만 보여야 하겠음

답 자체는 쉽게 추측되지만, 실질적인 계산이 그리 쉽진 않고 엄밀하게 과정을 전개해나가는 것에서 점수가 갈릴수 있다고 생각됨


* 맨위 url 풀이에 잘못적힌 부분은 아래 수정내용 참고(하한 증명)







3번은 문제 의미 이해를 좀 하기 힘들었을 거라 생각함. 일단 각 함수의 정의에 대한 이해가 절반은 먹고 들어가는 문제

갠적으로 상당히 잘낸 문제라고 생각해


3-1은 정수론 문제라고 생각하는 애들이 있는데, 내가봤을때 그냥 나머지 이런 용어가 나왔을뿐 정수론적 내용은 거의 없음

풀다보면 가우스함수가 생기게 되는데, r의 정의에 의해서 가우스함수가 사라지게 됨

조심해야할건, N, m, r의 값에 따라서 함수의 값 식이 달라지게 되므로 마지막 답에 이에 대한 표현을 잘 해야 하겠음

그냥 (N-r)/m - (m-1)/2만 적으면 감점이 있을 것


3-2는 3-1을 대체 왜 주었는가를 잘 고민하면 답이 보이는 문제

만약 g를 안 줬으면 N을 중심으로 셌을텐데, 그러면 정말 힘들겠지(200가지 경우를 세야하니까)

그런데 3-1의 g 함수를 이용하면, 이는 시그마 m*g_200(m) (m=1, 3, ... , 19) 임을 알 수 있음 (m>=21 부터는 g함수 값이 0이라 무의미)

이 원리는 더블카운팅(같은 대상을 서로 다른 관점에서 세는 접근기법)인데 경시대회 했으면 접해봤을 내용임

(참고; https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=mathlogic&no=770&page=1 더블카운팅의 대표적 예시)

연대에서도 작년 자연2 2번 문제가 이 아이디어를 쓰는 문제


3-2는 사실상 수열의 탈을 쓴 경우의수 문제에 가까움






4번은 개인적으로 수학문제라기보다, 물리문제에 가까워 보인다 ㅋㅋ 상당히 비전형적인 문제라고 볼수 있음


4-1은 다각형 내각이 180도보다 작다는 조건을 이용하면 사실상 세 벡터 사이의 각이 90, 135, 135도인 경우 한가지만 가능하다는걸 쉽게 보일수 있음

그럼 사실상 끝


4-2는 삼각형 OAB의 내부 점으로부터 나가는 벡터들의 총합에 대해 생각하는 것이 관건인 문제임

이 아이디어는 4-1을 이용하고자 하면 충분히 떠올릴수 있음


4-1에 의해, 내부 점으로부터 나가는 벡터들의 총합은 영벡터가 됨(영벡터들의 합이니까)

근데 이들 벡터는 경계벡터 이거나, 내부 점들끼리를 이은 선분 벡터(단, 방향만 해당 선분과 동일하고 성분이 1, -1, 0로만 이루어진 벡터만 생각한다) 로 나누어 볼수있는데, 후자의 경우 크기가 같고 방향이 다른 벡터들의 합이 되니까 전부 상쇄되어 영벡터가 됨

결국 영벡터 = 경계벡터 합 + 영벡터 가 되니까 경계벡터의 합도 영벡터가 되는거지


* 4-2의 풀이에서 조심해야 할건 4-1을 이용하기 위해, 내부 점들끼리 이은 선분 벡터를 생각할 때에는 크기가 그 선분의 길이가 아닌 4-1에서처럼 성분이 1, -1, 0으로만 이루어진 벡터를 생각해야 한다는 것임. 4-2의 문제 조건에선 '경계벡터'만 그 조건을 만족하기 때문에 내부 선분 길이는 1 또는 루트2 외의 것들도 있을수 있으니까


4-3은 4-2와 비슷하게, 경계벡터에 대해서도 해당 조건(벡터 성분이 1, -1, 0이게만)을 만족시키게 설정하면 됨

그래야 4-2를 이용할수 있으니까


그 이후는 어렵지 않음

각 변의 다각형의 수 = 각 변에 수직인 경계벡터의 수 + 1 이 되므로 각 변의 경계벡터의 수를 a, b, c 라 하면 a=b=c임을 보이면 되는데,

경계벡터 성분을 1, -1, 0으로 설정해놨으니까 x축에 평행인 경계벡터는 모조리 (-1, 0)이고 y축에 평행인 경계벡터는 모조리 (0,-1)이고, y=x와 평행인 경계벡터는 모조리 (1, 1)이 돼버림


이제, 4-2의 결과에 의해서 -a+c=-b+c=0이 돼야하니까 a=b=c가 나오게 됨