수학의 철학 : 재미지고 씐나는 수학철학의 역사이야기(8)

0. Introduction : http://gall.dcinside.com/philosophy/111192
1. 고대 이야기 : http://gall.dcinside.com/philosophy/111193
2. 중세 이야기 : http://gall.dcinside.com/philosophy/111211
3-1 근대 이야기 / 합리론의 입장 데카르트의 경우 : http://gall.dcinside.com/philosophy/111373
3-2 근대 이야기 / 경험론의 입장 로크의 경우 : http://gall.dcinside.com/philosophy/111409
3-3 근대 이야기 / 칸트의 입장 : http://gall.dcinside.com/philosophy/111440
3-4 근대 이야기 / 밀의 입장 : http://gall.dcinside.com/philosophy/111518
4-1-1 현대 이야기 / 논리주의 / 프레게의 경우 : http://gall.dcinside.com/philosophy/111644

 

4-1-2 현대 이야기 / 논리주의 / 러셀의 경우

 

논리주의 생명연장의 꿈 : 러셀
러셀은 수학의 본성에 관해 프레게의 입장과 동일하거나 더 나간 입장을 가지고 있다. 러셀은 수학 뿐만 아니라 기하학적 진리도 논리적 진리라고 보았다.(기하학은 수학으로 환원할 수 있으니까) 러셀은 논리주의가 실패한 것이 아니라 프레게가 제시한 Axiom V가 잘못되었다고 보았다. 러셀은 프레게와 같이 수를 논리적 대상으로서 도입하려는 시도를 하기 보다는 수에관한 진술을 개념에 관한 진술, 즉, 명제함수에 대한 진술로 보고자 한다.명제함수는 논항을 대상으로 갖고 명제를 함수값으로 갖는 함수다. 러셀의 공식적 입장은 수는 개념에 관한 진술, 즉 명제함수에 대한 진술로 환원할 수 있다. 따라서 집합에 관한 진술은 개념에 대한 진술로 환원할 수 있다.

러셀의 수학에 대한 주장 : 수에 대한 진술은 명제함수에 대한 진술로 환원할 수 있다.


프레게의 실수
러셀은 Axiom V를 도입한 것이 프레게의 잘못이라고 보고 있다. Axiom V는 일종의 소박한 포괄공리(Comprehension Axiom)다.

Axiom V : ∀F∃y(x∈y↔∀xΦx) / y={x:Φx}

모든 개념에 해서 그 개념을 만족하는 모든 x가 속하는 어떤 대상 y가 있다. 즉, 개념이 주어지면 그 개념을 만족하는 집합이 있다. Axiom V는 위 공리를 함축함으로 잘못되었다. 이것은 철학적 기획의 문제가 아닌 수학적인 실수다. 프레게는 당대에는 큰 영향을 끼치지 못했고, 러셀이 후대에 보다 큰 영향을 끼쳤다. 1910년부터 10년간 작업한 "Principia Mathematica"(수학의 원리 1판은 내포적으로 2판은 외연적으로 접근하고 있다고 이해된다. 2판의 경우 비트겐슈타인의 영향을 받았으나, A. Church는 이것이 잘못된 접근이라 비판했다.)가 후대에 영향을 주었다. 이 작업은 논리적 개념으로부터 수학을 정의하려는 작업이었다.(프레게와는 독립적으로)

 

러셀의 방법(No class theory, Type theory)
러셀의 목표는 프레게 기본 입장에 동의하면서 러셀의 패러독스를 해결한 체계를 제시하는 것이다. 러셀의 역설을 해결하기 위해 러셀이 선택한 방법은 유형론이며, 형이상학 적으로는 No Class Theory다. 이 주장은 집합에 관한 진술은 명제함수에 관한 것으로 환원할 수 있다는 것으로 요약될 수 있다. 수학의 원리에서 제시된 이론은 분지 유형론(Ramified type theory)으로, 뿌엥카레의 악순환을 해결하기 위해서 제시되었다. 러셀의 목표는 역설들이 밀접한 관계를 가지고 있다는 것을 보이고(공통된 결함이 있을 것이라고 본것) 이것을 해결함으로써 역설들을 해결하는 것이다.(역설 : 받아들일 수 있는 전제와 규칙을 가지고 모순을 도출하게 됨)

 

러셀의 분지유형론도 많은 문제를 가지고 있었다. 러셀이 그 이론을 제시한 이후에 램지는 러셀의 이론에 대해서 의미론적 역설과 집합론적 역설의 해결방법이 다르다고 주장하며 비판했다.(집합론적 역설의 해결은 단순 유형론만으로 가능하기 때문에 램지는 단순유형론의 체계를 제시한다.) 그러나 러셀 역시 이런 단순 유형론에 대한 고려가 있었다.(1903년 수학의 원리 부록에 포함시킴, 그러나 수학의 원리는 프레게에 비하면 엄밀성이 떨어진다.)

유형론의 기본 입장

유형론의 기본 발상은 어떤 명제함수 이던지 그 명제함수가 유의미해지는(참이나 거짓이 될 수 있는)영역이 정해져 있다는 것이다. 가령 '부르투스가 시저를 죽였다.'라는 표현에서 '부르투스'는 개체를 가리키며, '가 시저를 죽였다.'는 명제함수다. 이때 명제 함수는 불포화(unsaturated)되어있다. 만약 이 명제함수 '-가 시저를 죽였다.'에 '-가 시저를 죽였다.'를 집어넣는다면 이 문장은 무의미해진다. 즉, 개체의 자리에는 대상을 지시하는 표현이 들어가야 한다. 때때로 자연언어에서는 그런 표현이 있지만, 그것은 자연언어의 결함이다. 따라서 문법적으로 그런 적용범위를 넘어서는 표현을 비문법적인 문장으로 보고 배제해야 한다.

 

'가 시저를 죽였다'는 개체를 영역으로 하는 명제함수다. 이런 종류의 명제함수는 가장 낮은 level의 명제함수(대상을 논항으로하는 함수)다. 그러나 이런 가장 낮은 level의 명제함수를 영역으로 하는 명제함수가 있다. 가장 간단한 예가 양화사다. ex) There is some x killed Caesar.(시저를 죽인 어떤 것이 있다.) 양화사의 논항은 개념이 들어가야 한다.(가령 ∃a와 같은 표현은 문법적으로 잘못된 표현이다. ∃x(x=a)의 경우 '=a'의 부분이 개체가 아니라 개념이다. 즉, 1차 양화사는 1차 명제함수를 논항으로 갖는 명제함수 즉, 2차 명제 함수이다. 이런 식으로 2차 명제함수를 논항으로 하는 3차 명제함수를 생각할 수 있다.(예, SOL의 ∀X - 2차 양화사) 즉, 이런 식으로 해당 명제함수의 논항의 유형에 따라 구분을 지어야 유의미한 영역만을 갖도록 할 수 있다.(물론 이런 유형은 무한하게 반복될 수 있다.) 또한 집합을 고려해면 집합은 명제함수의 외연이다.

 

러셀과 프레게의 차이는 유형을 어디까지 구분하는 가에 있었다. 프레게는 2차까지 만을 고려하고 있다. 반면 러셀은 유형론에 따라, 집합들도 그것이 대상으로 하는 것들에 따라 구분되어야 한다. 러셀의 역설은 ∃F({x:Fx}=y&FF)를 허용함으로써 발생하는 것인데 이것은 유형을 위반하는 비문법적인 표현이다. 일견 러셀은 자기 지시(Self-reference or self-application)를 거부하는 것으로 보인다. 러셀의 방법은 x∈x를x0∈x1 로 보는 것이며 R∈R과 같은 표현을 거부하기 때문이다.

 

러셀의 유형을 정리하면 다음과 같다.
level0 : individuals {a, b, c…….}
level1 : First level prop.func {x:Φx}
level2 : Second level prop.func {x:Φ2x}
.
.
.
leveln : n th-level prop. func {x:Φnx}

 

level0는 ~가 있다는 것을 주장한다는 점에서 경험적인 문제다. level1은 그러한 개체들을 분류하는 것이다. 즉, 집합들의 집합이다. {{a},{b}} level2는 집합들의 집합들의 집합이다.{{{a},{b}}}

 

x∈y가 문법적이기 위해서는 xn∈yn+1이어야 한다. 즉 포함관계에 대해서 포함되는 것은 포함하는 것보다 level이 한단계 낮아야 한다. 다만 우리는 이것이 체계적으로 고려했을때 애매하다고 볼 수 있지만, 엄밀하게 보이고자 한다면 보일 수 있다. 따라서 프레게의 포괄원칙은 엄밀하게 보인다면 다음과 같이 보여져야 한다.

프레게의 포괄원칙 : ∃x∀y(y∈x↔∀yΦy)
러셀에 의해 해석된 포괄원칙 : ∃x∀y(yn∈xn+1↔∀nyΦn+1y)

 

또한 각 level에 대해서 집합들은 외연적이다. 즉, 같은 level에서 외연이 같으면 같은 집합이라는 동일성 조건이 주어져야 한다. 그리고 이것이 각 level마다 증명되어야 한다. 이것은 프레게가 하지 않았던 유형에 관한 분석을 엄밀하게 한 것이다. 이 체계는 러셀에 의해서 이 부분에 대한 수정이 이루어진 프레게의 체계다.

 

프레게의 개별수 정의를 보자
0 = [Nx:x≠x], 1 = [Nx:x=0], ...
프레게의 경우 이것은 문제가 되지 않았지만, 시저가 수인가의 문제가 있었다.

러셀은 이것을 다음과 같이 제시함으로써 해결한다.
0 := [Nx:x≠x] = [F:F≈x≠x} = {{∅}}
1 := [Nx:x=0] = [F:F≈x=0] = {{a},{b},{c},...}
2 := [Nx:x=∨x=1] = [F:F≈x=0∨x=1] = {{a,b},{b,c},{c,d},...}

 

러셀과 프레게의 작업의 차이는 프레게의 경우 1의 개념에 {{a}}나 {{{a}}}도 포함될 수 있었지만, 러셀은 유형론을 통해서 이것을 배제하도록 한다는 점이다. 러셀은 1을 외연이 하나인 Uniset들의 집합으로 정의한다. 그러나 이 경우 {{{a}},{{b}},...}집합도 1로 생각할 수 있다. 즉, 1의 유형이 다양해진다.(1-1,1-2,1-3,1-4, ... 등의 수가 있다. 즉, 각 유형마다 그 유형의 1이 있다.) 이런 차이는 수가 대상으로 하는 것들의 차이에 따라서 달라진다. 개체들을 셀 때는 유형1의 1을 개념을 셀 때는 유형2의 1을 사용해야 한다.

 

이것은 마치 집합의 존재를 공식적으로 인정한 것처럼 보이지만, 집합의 level은 명제함수의 level로부터 따라나온다. No-class theory가 주장하는 것은 집합에 관한 진술은 명제함수에 관한 이야기로 바꿀 수 있다는 것이다. 즉, 집합이 독자적으로 존재하지 않는다.

{x:Φ(x)}는 ∃G(∀y(Gy↔Φy)&Ψ(G))로 분석할 수 있다.
(G를 만족하는 대상이 Φ를 만족하고, Φ를 만족하는 대상이 G를 만족하고, Ψ를 만족시키는 개념 G가 있다.)
'현대 프랑스 왕'이라는 표현은 대상을 지시하는 표현이 아니라, 개념들로 분석될 수 있다는 점에서 이러한 작업은 Description과 유사하다. 즉 집합을 존재로 도입하지 않고도 집합을 다룰 수 있게 분석한다.

 

러셀 유형론의 문제들
1. 명제함수와 술어와 어떻게 다른가?
'P(N)은 N보다 크다.'(자연수 집합의 멱집합은 자연수 집합보다 크다.)와 같은 문장을 다루기 위해서는 Uncountable한 것을 다룰 수 있어야 한다. 일반적으로 우리의 언어는 Countable한 언어다. 우리는 유한한 규칙, 유한한 문자들을 나열하여 표현을 만든다. 이 규칙과 문자들은 자연수 개수를 넘지 않으며, 이런 것들을 통해 유한하게 나열된 표현들(문장은 유한해야 한다.)은 Countable하다.(자연수를 유한하게 구성한 집합은 자연수 개수 만큼 있다. ℵ0+ℵ0=ℵ0인 점을 고려하자) 러셀의 유형기호들을 포함한다고 해도 러셀의 체계로 기술할 수 있는 표현은 Countable하다. 즉, 러셀의 유형론으로 자연수의 멱집합 대해서는 충분히 다룰 수 없다. 마찬가지로 실수역시 충분히 다룰 수 없다. 따라서 유형론으로 다룰 수 없는 명제함수가 있다고 볼 수 있다. 결국 명제함수와 술어가 차이가 있다고 보아야 할 것이다.

 

2. 유형론의 수 정의가 만족스러운가?
러셀은 수를 대상으로 도입한 것이 아니라, 명제 함수로 설명한다. 즉, 러셀에게 수는 대상이 아니라 수를 표현하는 양화사(numerical quantifier)다. 그러나 이것은 논리주의가 처음 기획했던 수가 모든 것에 적용될 수 있는 것이라는 것을 모이고자 하는 목표에 부합하는 것이 아니라고 볼 수 있다.

 

3. Axiom of infinity의 문제
러셀에게 필요한 것은 모순을 낳은 소박한 포괄원칙의 문제를 해결할 수 있는 강화된 포괄원칙을 제시하는 것과, 개별 수를 정의하는 것이다. 더불어 러셀은 프레게가 보였던 것과 같이 자연수가 무한다는 것을 증명할 수 있어야 한다. 그러나 이것은 모든 수에 관한 주장이 되어야 함으로 n-th level 양화사에 n-th level 개념이 필요하다. 그러나 이것은 유형이론에 따르면 비문법적인 표현이다. 때문에 러셀은 axiom of infinity를 도입한다.(프레게의 경우 수를 대상으로 도입함으로써 증명했다) 그러나 이러한 공리를 도입하는 체계를 논리체계라고 할 수 있는가의 문제가 있다.

 

4. 유형론을 서술하는 언어도 유형의 제한의 받아야 할 텐데, 유형론을 설명하는 언어는 어떤 유형의 언어가 되어야하는지 불분명하다.