대반대관계 논리 검토
1.정리 (논리적 동치)
(∀x)(Lx → (Ax ∧ ∃y Ly))
≡ (∀x)(Lx → Ax) ∧ (∃y Ly)

(∀x)(Lx → (¬Ax ∧ ∃y Ly))
≡ (∀x)(Lx → ¬Ax) ∧ (∃y Ly)

→ 이는 항진식 (p → (q ∧ r)) ≡ (p → q) ∧ (p → r) 및, ∃y Ly가 x에 자유로 나타나지 않으므로 전칭 밖으로 분배 가능한 성질에 따른다.

2.동시에 참일 수 없음 (모순 유도)
두 명제가 모두 참이라고 가정하면, (∃y Ly)도 참이며, 동시에 (∀x)(Lx → Ax)와 (∀x)(Lx → ¬Ax)가 성립한다.
그러면 어떤 a에 대해 La가 성립할 때 Aa ∧ ¬Aa가 되어 모순 발생.
따라서 동시에 참은 불가능하다.

3.동시에 거짓일 수 있음 (반증 예시)
해석: 우주에 논리학자가 전혀 없음 (즉, 모든 원자에 대해 Lx 거짓).
→ (∃y Ly)가 거짓이므로,
(∀x)(Lx → Ax) ∧ (∃y Ly),
(∀x)(Lx → ¬Ax) ∧ (∃y Ly)
는 각각 “거짓 ∧ …” 꼴이 되어 모두 거짓.
따라서 동시에 거짓이 가능하다.

4.보충 (존재 함축)
전통적 쌍 (∀x)(Lx → Ax), (∀x)(Lx → ¬Ax)는 논리학자가 없을 경우 모두 참(공허 진리)이 될 수 있다. 그러나 (∃y Ly)를 결합하면 두 명제는 대반대관계(contrariety)가 성립한다.

결론

(∀x)(Lx → (Ax ∧ ∃y Ly)) 와 (∀x)(Lx → (¬Ax ∧ ∃y Ly))는 동시에 참일 수 없으나 동시에 거짓일 수 있는 관계, 즉 대반대관계에 있다.

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